4机戒能守恒定理 T+V=E
rr?V?V?V 〈析〉势函数V: dV?dx?dy?dz??Fgdr
?x?y?zr?Vr?Vr?Vrj?k) F??(i??x?y?z稳定平衡下得势函数：
dV?x?dxx?x0?0;
dV2?x?dxx?x0?0
此时势能处极小处Vm
?VM?E?0质点再平衡点附近振动? 且能量满足?0?E质点逃逸-?
?V?E质点逃逸+??m【解题演示】
1 细杆OL绕固定点O以匀角速率?转动，并推动小环C在固定得钢丝AB上滑动，O点与钢丝间得垂直距离为d，如图所示。求小环得速度?与加速度a。
解：依几何关系知：x?dtan?
rd?rd2?x2r&?i??i 又因为：??xicos2?dr22rr?2(d?x)x2r&&i??i 故：a???2xx2ddrr2 椭圆规尺AB得两端点分别沿相互垂直得直线Oχ与Oy滑动，已知B端以匀速c运动，如图所示。求椭圆规尺上M点得轨道方程、速度及加速度得大小υ与α。 解：依题知：yB?(b?d)cos?
&& 且：yB??C??(b?d)?sin?
得：?&?CKK*
(b?d)sin?又因M点位置：xM?bsin?,yM?dcos?
rrrr&&&& 故有：?M?xMi?|yMj?b?cos?i?d?sin?j
rbccot?rdcr代入（*）式得：?M?i?j
b?db?dc即：??b2cot2??d2 b?drrr&?? aM??M&rrbc?bc2i?i
(b?d)sin2?(b?d)2sin2?3 一半径为r得圆盘以匀角速率?沿一直线滚动，如图所示。求
圆盘边上任意一点M得速度?与加速度a（以O、M点得连线与铅直线间得夹角θ表示）；并证明加速度矢量总就是沿圆盘半径指向圆心。
解：设O点坐标为（?Rt?x0,R）。则M点坐标为
（?Rt?x0?Rsin?,R?Rcos?）
rrr&& 故：?M?xMi?yMj?(?R?R?cos?)i?R
rrrrrrr222& aM??M??R?sin?i?R?cos?j??R?(sin?i?cos?j)
rr4 一半径为r得圆盘以匀角深度ω在一半经为R得固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M点得深度υ与加速度α（用参量θ，Ψ表示）。
&??解：依题知：?r&?rR?r??r?rR?r
r且O点处：ek?cos(???)er?sin(???)e? 则：
rrrrM?rO?O?rOMrr?(R?r)eR?rer&??rMrrrr?[(R?r)cos(???)?r]er?(R?r)sin(???)e?
rrrrr&(?&&&&&&?r??)sin(???)e?[(R?r)cos(???)?r]?e?(R?r)(???)cos(???)e?(R?r)?sin(???)eMr??rrr??r?sin(???)er?r?[1?cos(???)]e?
rr&a??rrrr&&&&&?r?(???)cos(???)er?r??sin(???)e??r?(???)sin(???)e??r??&[1?cos(???)]errrr&&&?r??cos(???)er?r??sin(???)e??r??errrr?2?r?R?rcos(???)e?rsin(???)e??????rR?r???
5 已知某质点得运动规律为：y=bt,??at,a与b都就是非零常数。
（1）写处质点轨道得极坐标方程；（2）用极坐标表示出质点得速度?与加速度a。 解：?1?y?rsin??bt?rrrb? arbarrrb?r&?basin??a?cos?eae? ?2???rr?2asin?asin?rrb ? 1??cot?e??e???r????sin?得：r??csc?er
6 已知一质点运动时，经向与横向得速度分量分别就是λr与μ
θ，这里μ与λ就是常数。求出质点得加速度矢量a、 解：由题知：???rer???e?
&??? 且：r?&?r,r?rrrr&&&&&r??r? 故：a????ree????e?????er && ???r????e? ?er?(?r??)?&rrrrrrrr ?(?r?2?2?2rr)er???(???rr)e?
7 质点作平面运动，其速率保持为常量，证明质点得速度矢量与
加速度矢量正交。 证明：设速度为???e?。
rd?r?2r?2r则：a?e??en?en
dt??rr由于e?与en为正交矢量。即得证。
8一质点沿心脏线r??(1?cos?)以恒定速率v运动，求出质点得速
度?与加速度a、
&&??sin??e???&?1?cos??re &r?r?解：设??ree????r?&??sin??]2?[??&?1?cos??r]2??2 且有：[??rrrrrrrrr 解得：?&??2cos?2?
??&??sin?????sin,r?&& 得：r?????cos
22r?r?r则：???(?siner?cose?)
22rrrr1&?rr&??1??&cos?e&sin?e&cos?e a????????sine???r??r 2222223?2r?r(?er?tane?) ?4?29已知质点按 r?e?t,???t运动，分别求出质点加速度矢量得切向与法向分量，经向分量与横向分量。 解：（1）极坐标系下：
&&??e?t,??? 由r?e?t,???t得：r&&r?r?e? 且设：??rerrr2&&&&r?r?则：??r??r?e? ?e??re2rrrrr得：e??r en??&r2&&r?r???&r?2rer?rer?&r?2&&r?r???&r2re? re?
2&&r?r???r222&&r?r???2&&&&&&&r??&??(r& a???&rere??r?)e??r?er
rrrrr ?(?2?r?2)e?ter?2??e?te?
则：径向与横向得分量分别为(?2?r?2)e?t，2??e?t。
10质点以恒定速率C沿一旋轮线运动，旋轮线方程为
x?R(??sin?),y??R(1?cos?)。证明质点在y方向做等加速运动。
2222&&&&?y?R2(1?cos?)2??R2?sin2? 解：依题意：C2?xrr得：?&?C2Rcos?2
2&&&&则：ay?&y?R(?cos???sin?)
1?sin?sin2Ccos?2) ?(?2?4Rcos2?cos3222 ?C(4R2cos2?2?sin2?2?sin2cos2??2) 2cos2?2C2 ?
4R 11 一质点沿着抛物线y2?2px运动，如图所示，其切向加速度得量
值就是法向加速度值得-2k倍。若此质点从正焦弦得一端点
(p,p)以速率u出发，(p,?p)时得求质点到达正焦弦得另一端点22速率?。
陈世民理论力学简明教程(第二版)课后答案
