量子力学 主讲：孟庆阳 使用教材：曾谨言《量子力学导论》
§4?5量子力学的矩阵形武和表象变换
态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数 中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象幺正变换 （1）直角坐标系中的类比
取平而直角坐标系OX.X.K基矢（我们过去称 之为单位矢）可表示为石左2,见图
苴标积可写成下而的形式 ?乙)=第(/； j = 12)
我们将貝称之为基矢的正交归一关系。 平而上的任一矢量A可以写为
幷中A=（^|M）, A,={e,.A）称为投影分量。 而A = {A,.A,）称为A在坐标系OX,X,中的表示。 现在将坐标系OXjX,沿垂直于自身面的轴顺时 针转0角度，则单位基矢变为年 L 且同样有
?易「)珂(/\\7 = U)
而平而上的任一矢量A此时可以写为
其中投影分量是舛=（“\O 而広=
称为A在坐标系OX/X/中的表示。现在的问题是：这两个表示有何关系？ 显然，A =歼A|F, + 人厶。
量子力学 主讲：孟庆阳
使用教材：曾谨言《量子力学导论》
用&「、乙'分别与上式中的后一等式点枳（即作标积），有
歼=人（「吕）+￡（吕応）
AG；$I)+AWW)
表成矩阵的形式为
（即叵）丫A 、码丿飞?,即
（召叵
UL
由于石?、石及$2* $2的夹角为&，显然有
G語）?忌）Y>v 命語）G込）丿（律
\&￥￡、
、sin& COS& 人 A?丿
或记为
实中
'cos0 -sin 0^
R(8) =
.sin& COS& ,
是把;5在两坐标中的表示 联系超来
的变换矩阵。
变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故/?给崔?
任何矢量在两坐标系间的关系也确圧。
很容易证明，R具有下述性质:
Rk=RR=I
由于 det{RR) = (det 7?)\尖中如（&=口一”心足肿切…. 故称这种矩阵为正交矩阵。
但detR = 1 (对应于貞?转动(properrotation))且/? = R (实矩阵)
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量子力学 主讲：孟庆阳 使用教材：曾谨言《量子力学导论》
??? RR+ =R+R = I
我们把满足上述条件的矩阵叫幺正矩阵。 到现在为止，我们介绍了三种矩阵: 厄米矩阵: 正交矩阵:
RR = RR = I
欢=R〒R =【
这三种矩阵在以后的学匀中经常涉及到.请注意掌握。 幺正矩阵:
（2）量子力学中的表象
形式上与上述类似，在量子力学中，按照态的叠加原理，任何一个态占可以看成Hilbert 空间的一个“矢量二
体系的力学量F完全集的共同本征函数系#, （k代表一组完备量子数）构成一组正交 归一完备基矢。这组基矢构成的‘‘坐标系\称为F表象。
同样
对于任意态矢量占，有
尖中
你=(%\
这一组系数（4,心，…）就是态（矢）在F表彖中的表示，它们分别是与各基矢的内积。 与代数不同的是:
①这里的''矢量'》（量子态）是复数; ②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的。
现在考虑同一个态鸭在一组力学量完全集F'（表象F）中的表示。 设本征态为申J,满足正交归一，即 态0用这组态矢展开，即
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量子力学的矩阵形式和表象变换.
