第14讲 数列的递推与求和
数列的递推问题和求和问题是数列中两个最为重要的问题，除了等差、等比数列可以直接套用公式求通项、求和之外，其余还有很多类型的数列是没有现成公式的，本讲介绍一些典型的求通项与求和问题的类型以及相应的解法。
考点一：已知an?1?an?f(n)与例1.已知数列?an?满足a1?【解析】an?1?an?an?1?f(n)，累加法与累乘法 an11，an?1?an?2，求an。 2n?n1111???
n2?nn(n?1)nn?1于是(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)?(1?1)?(1?1)?(1?1)????????(1?1)
22334n?1n111131 ?a1?，?an??1??? n22n2n2n例2.已知数列?an?满足a1?，an?1?an，求an。
3n?1所以an?a1?1?【解析】由条件知
an?1n?， ann?1于是
aaa2a3a41123n?1??????????n????????????n? a1a2a3an?1234a1nn又?a1?22，?an? 33n考点二：已知Sn与an的关系，利用an???S1,n?1求通项
?Sn?Sn?1,n?221an?，则数列{an}的通项公式是33例1.（2013新课标）若数列{an}的前n项和为Sn＝
an=______.
【解析】当n=1时，a1=S1=
21a1?，解得a1=1， 33212122当n≥2时，an=Sn?Sn?1=an?－(an?1?)=an?an?1，即an=?2an?1，
333333∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴an=(?2)n?1.
例2.（2015新课标Ⅱ）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1??1,an?1?SnSn?1则Sn=_____
， 【解析】当n=1时，S1?a1??1，所以
1??1， S1因为an?1?Sn?1?Sn?SnSn?1，所以
1111??1，即???1， SnSn?1Sn?1Sn所以{1}是以?1为首项，?1为公差的等差数列， Sn所以
11?(?1)?(n?1)(?1)??n，所以Sn??． Snn2例3.（2015新课标）Sn为数列{an}的前n项和，已知an?0，an?2an?4Sn?3，求an. 2【解析】当n?1时，a1?2a1?4S1?3?4a1+3，因为an?0，所以a1=3，
22当n?2时，an?an?an?1?an?1?4Sn?3?4Sn?1?3?4an，
即(an?an?1)(an?an?1)?2(an?an?1)，因为an?0，所以an?an?1=2， 所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，所以an=2n?1.
考点三：对于an?1?pan?q（p,q是常数）的递推关系，待定系数法。 例1.已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an. 【解析】将an?1?2an?3转化为为an?1?3?2(an?3), ?an?1?3?2.
an?3n?1n?1所以?an?3?是以4为首项，2为公比的等比数列，则an?3?4?2?2,
n?1故an?2?3.
例2.设数列?an?满足a1?4,an?3an?1?2n?1,(n?2)，求an.
【解析】设bn?an?An?B，则an?bn?An?B，将an,an?1代入递推式，
bn?An?B?3?bn?1?A(n?1)?B??2n?1?3bn?1?(3A?2)n?(3B?3A?1)
??A?1?A?3A?2?取bn?an?n?1，则bn?3bn?1,又b1?6， ????B?1??B?3B?3A?1?n?1nn故bn?6?3?2?3，故an?2?3?n?1
n例3.已知数列{an}满足a1?1，an?2an?1?3(n?2)，求an。 nn?1【解析】设an?k?3?2(an?1?k?3)，通过待定系数确定k??3
an?3?3n ??2 ?{an?3?3n}是一个首项为?8，公比为2的等比数列 n?1an?1?3?3n?1n?1n?1n?2 ?an?3??8?2 ?an?3?2.
考点四： an?1?k?an，其中k,m,n是常数，取倒数处理。
m?an?nan?1(n?2)，求数列{an}的通项公式。
3an?1?1例1.已知数列{an}满足a1?1,an?【解析】 取倒数得到：
13?an?1?11??3? anan?1an?1?1?111 ???是等差数列，??(n?1)?3?1?(n?1)?3?an?aa3n?2an1?n?例2.已知数列{an}满足a1?1,an?2an?1(n?2)，求数列{an}的通项公式。
3an?1?1【解析】 取倒数得到
13an?1?1113111???? ??3?(?3) an2an?12an?12an2an?1?1?1???3?是一个首项为?2，公比为的等比数列，
2?an?2n?211n?11??3??2?()??n?2 ?an? an223?2n?2?1考点五：错位相减法求和
例1.（2015年浙江高考）已知数列{an}和{bn}满足a1?2，b1?1，an?1?2an(n?N*)，111b1?b2?b3???bn?bn?1?1(n?N*).
23n（1）求an与bn； （2）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn． 【解析】（1）由a1?2，an?1?2an，得an?2n(n?N*)．
由题意知，当n?1时，b1?b2?1，故b2?2，
第14讲：数列的递推与求和
