四川大学家教协会
圆锥曲线的方程与性质
1.椭圆
(1)椭圆概念
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点,则有|MF。 1|?|MF2|?2ax2y2y2x2椭圆的标准方程为:2?2?1(a?b?0)(焦点在x轴上)或2?2?1(a?b?0)(焦点在y轴
abab上)。
注:①以上方程中a,b的大小a?b?0,其中b?a?c;
222x2y2y2x22②在2?2?1和2?2?1两个方程中都有a?b?0的条件,要分清焦点的位置,只要看x和y2的分
ababx2y2??1(m?0,n?0,m?n)当m?n时表示焦点在x轴上的椭圆;当m?n时母的大小。例如椭圆
mn表示焦点在y轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质
x2y2①范围:由标准方程2?2?1知|x|?a,|y|?b,说明椭圆位于直线x??a,y??b所围成的矩形里;
ab②对称性:在曲线方程里,若以?y代替y方程不变,所以若点(x,y)在曲线上时,点(x,?y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称,同理,以?x代替x方程不变,则曲线关于y轴对称。若同时以?x代替x,?y代替y方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;
③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令
x?0,得y??b,则B1(0,?b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y?0得x??a,即A1(?a,0),
A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时,线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a;在Rt?OB2F2中,|OB2|?b,|OF2|?c,|B2F2|?a,
222且|OF2|?|B2F2|?|OB2|,即c?a?b;
222c叫椭圆的离心率。∵a?c?0,∴0?e?1,且e越接近1,c就a越接近a,从而b就越小,对应的椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时
222椭圆越接近于圆。当且仅当a?b时,c?0,两焦点重合,图形变为圆,方程为x?y?a。
④离心率:椭圆的焦距与长轴的比e?2.双曲线
(1)双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(||PF1|?|PF2||?2a)。
注意:①式中是差的绝对值,在0?2a?|F1F2|条件下;|PF1|?|PF2|?2a时为双曲线的一支;
|PF2|?|PF1|?2a时为双曲线的另一支(含F1的一支);②当2a?|F1F2|时,||PF1|?|PF2||?2a表示两条射线;③当2a?|F1F2|时,||PF1|?|PF2||?2a不表示任何图形;④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点,|F1F2|叫做
焦距。
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定义 方程 椭圆和双曲线比较: 椭 圆 双 曲 线 |PF1|?|PF2|?2a(2a?|F1F2|) x2y2??1 a2b2F(?c,0) x2y2??1 b2a2F(0,?c) ||PF1|?|PF2||?2a(2a?|F1F2|) x2y2??1 a2b2F(?c,0) y2x2??1 a2b2F(0,?c) 焦点 注意:如何用方程确定焦点的位置! (2)双曲线的性质 x2y2①范围:从标准方程2?2?1,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线x??a的外侧。即
abx2?a2,x?a即双曲线在两条直线x??a的外侧。
x2y2②对称性:双曲线2?2?1关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点
abx2y2是双曲线2?2?1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
abx2y2③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2?2?1的方程里,对称轴是x,y轴,所
abx2y2以令y?0得x??a,因此双曲线和x轴有两个交点A(?a,0)A2(a,0),他们是双曲线2?2?1的顶点。
ab令x?0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。
1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2)实轴:线段AA2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段BB2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从
x2y2图上看,双曲线2?2?1的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。
ab⑤等轴双曲线:
1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:a?b; 2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:y??x ;(2)渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。
223)注意到等轴双曲线的特征a?b,则等轴双曲线可以设为:x?y??(??0) ,当??0时交点在x轴,当??0时焦点在y轴上。
x2y2y2x2??1与??1的区别:三个量a,b,c中a,b不同(互换)c相同,还有焦点所在的坐标⑥注意
169916轴也变了。
3.抛物线
(1)抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。
方程y?2px2?p?0?叫做抛物线的标准方程。
pp,0),它的准线方程是x?? ;
22注意:它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(
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(2)抛物线的性质
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:y2??2px,x2?2py,x2??2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:
标准方程 y2?2px(p?0)y o F y2??2px(p?0)y x2?2py(p?0)y F x2??2py(p?0) l 图形 l x F o x l ox 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 p(,0) 2px?? 2x?0 (?p,0) 2px? 2x?0 顶点 e?1 e?1 离心率 说明:(1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;(2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;(3)注意强调p的几何意义:是焦点到准线的距离。
x轴 (0,0) x轴 (0,0) p(0,) 2py?? 2y?0 y轴 (0,0) e?1 p(0,?) 2py? 2y?0 y轴 (0,0) e?1
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圆锥曲线知识点总结(绝对物超所值)
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