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圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF。 1|?|MF2|?2ax2y2y2x2椭圆的标准方程为：2?2?1（a?b?0）（焦点在x轴上）或2?2?1（a?b?0）（焦点在y轴
abab上）。
注：①以上方程中a,b的大小a?b?0，其中b?a?c；
222x2y2y2x22②在2?2?1和2?2?1两个方程中都有a?b?0的条件，要分清焦点的位置，只要看x和y2的分
ababx2y2??1（m?0，n?0，m?n）当m?n时表示焦点在x轴上的椭圆；当m?n时母的大小。例如椭圆
mn表示焦点在y轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
x2y2①范围：由标准方程2?2?1知|x|?a，|y|?b，说明椭圆位于直线x??a，y??b所围成的矩形里；
ab②对称性：在曲线方程里，若以?y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,?y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以?x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以?x代替x，?y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令
x?0，得y??b，则B1(0,?b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y?0得x??a，即A1(?a,0)，
A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在Rt?OB2F2中，|OB2|?b，|OF2|?c，|B2F2|?a，
222且|OF2|?|B2F2|?|OB2|，即c?a?b；
222c叫椭圆的离心率。∵a?c?0，∴0?e?1，且e越接近1，c就a越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时
222椭圆越接近于圆。当且仅当a?b时，c?0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x?y?a。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e?2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1|?|PF2||?2a）。
注意：①式中是差的绝对值，在0?2a?|F1F2|条件下；|PF1|?|PF2|?2a时为双曲线的一支；
|PF2|?|PF1|?2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a?|F1F2|时，||PF1|?|PF2||?2a表示两条射线；③当2a?|F1F2|时，||PF1|?|PF2||?2a不表示任何图形；④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做
焦距。
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定义 方程 椭圆和双曲线比较： 椭 圆 双 曲 线 |PF1|?|PF2|?2a(2a?|F1F2|) x2y2??1 a2b2F(?c,0) x2y2??1 b2a2F(0,?c) ||PF1|?|PF2||?2a(2a?|F1F2|) x2y2??1 a2b2F(?c,0) y2x2??1 a2b2F(0,?c) 焦点 注意：如何用方程确定焦点的位置！ （2）双曲线的性质 x2y2①范围：从标准方程2?2?1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x??a的外侧。即
abx2?a2，x?a即双曲线在两条直线x??a的外侧。
x2y2②对称性：双曲线2?2?1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点
abx2y2是双曲线2?2?1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
abx2y2③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2?2?1的方程里，对称轴是x,y轴，所
abx2y2以令y?0得x??a，因此双曲线和x轴有两个交点A(?a,0)A2(a,0)，他们是双曲线2?2?1的顶点。
ab令x?0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从
x2y2图上看，双曲线2?2?1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
ab⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a?b； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y??x ；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
223）注意到等轴双曲线的特征a?b，则等轴双曲线可以设为：x?y??(??0) ，当??0时交点在x轴，当??0时焦点在y轴上。
x2y2y2x2??1与??1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标⑥注意
169916轴也变了。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
方程y?2px2?p?0?叫做抛物线的标准方程。
pp,0），它的准线方程是x?? ；
22注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（
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（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2??2px，x2?2py，x2??2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
标准方程 y2?2px(p?0)y o F y2??2px(p?0)y x2?2py(p?0)y F x2??2py(p?0) l 图形 l x F o x l ox 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 p(,0) 2px?? 2x?0 (?p,0) 2px? 2x?0 顶点 e?1 e?1 离心率 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。
x轴 (0,0) x轴 (0,0) p(0,) 2py?? 2y?0 y轴 (0,0) e?1 p(0,?) 2py? 2y?0 y轴 (0,0) e?1
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圆锥曲线知识点总结（绝对物超所值）
