四年级奥数第四讲 等差数列含答案

第四讲 等差数列

一、知识点：

1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。

2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。

3、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数?2 项数=（末项-首项）?公差+1 末项=首项+公差?（项数-1） 首项=末项-公差?（项数-1）

公差=（末项-首项）?（项数-1）

等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数

二、典例剖析：

例（1） 在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是

多少？

分析： （1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）?公差+1,便可求出。

（2）根据公式：末项=首项+公差?（项数-1）

解： 项数=（201-3）?3+1=67 末项=3+3?（201-1）=603

答：共有67个数，第201个数是603

练一练：

在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？

答案: 第48项是286，508是第85项

例（2 ）全部三位数的和是多少？

分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、

999这 一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。

解： （100+999）?900?2 =1099?900?2

=494550

答：全部三位数的和是494550。 练一练：

求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

答案: 1000

例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。

分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。从题意可知，本题是求

等差数列11、21、31、……、91的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。 解一： 11+21+31+……+91 =（11+91）?9?2

=459

分析二：根据求和公式得出等差数列11、21、31、……91的和是459，我们可以求得这9个数的平均数是459?9=51，而51恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项(称作中项)，由此我们又可得到S=中项?n，但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能用中项公式计算。 解二：11+21+31+……+91 =51?9 =459 答：和是459。

练一练：

求不超过500的所有被11整除的自然数的和。

答案: 11385

例（4） 求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、……49、50； 2、3、4、5、……50、51； 3、4、5、6、……51、52； ……

49、50、51、52、……97、98；

50、51、52、53、……98、99。

分析一：这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横

行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。 解一： 每一横行数列之和： 第一行：（1+50）?50?2=1275 第二行：（2+51）?50?2=1325

第三行：（3+51）?50?2=1375 ……

第四十九行：（49+98）?50?2=3675 第五十行：（50+99）?50?2=3725 方阵所有数之和：

1275+1325+1375+……+3675+3725 =（1275+3725）?50?2

=125000

分析二：观察每一横行可以看出，从第二行起，每一行和都比前一行多50，所以可以

先将第一行的和乘以50，再加上各行比第一行多出的数，这样也能求得这个方阵所有数的和。

解二：（1+50）?50?2?50=63750 50?（1+2+3+……+49） =50?【（1+49）?49?2】 =61250

63750+61250=125000 答：这个方阵的和是125000

练一练：

求下列方阵中100个数的和。

0、1、2、3、……8、9；

1、2、3、4、……9、10； 2、3、4、5、……10、11；

……

9、10、11、12、……17、18。

答案: 900

例（5）班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了105次，那么共有多少男生参加了这项比赛?

分析：设共有几个选手参加比赛，分别是A1、A2、A3 A1、……An 。从A1开始按顺序分析比赛场次：

A1必须和 A2 、A3、A4、……，An逐一比赛1场，共计（n-1）场；

A2已和A1赛过，他只需要和A 3、A4 、A5 、……、An各赛1场，共计（n-2）场 A 3已和A1 A2赛过、他只需要和A4、 A5、 A6、……、An 、各赛1场，共计（n-3）场。

以此类推，最后An-1只能和An赛1场 解： Sn=（n-1）+（n-2）+……+2+1

=

12?（1+n-1）?（n-1）

=

12?n?(n-1)（场）

根据题意，Sn=105(场)，则n?（n-1）=210，因为n是正整数，通过试算法，可知15?14=210.

则n=15,即共有15个男生参加了比赛。 答：有15个男生参加了比赛。 练一练：

从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？

答案： 625种

例（6）若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？

分析：从已知条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就是告诉我们这个等差数列的和是912，项数是16，公差是6。题目要求的是等差数列末项 an- a1=d?(n-1)=6?(16-1)=90(人)

解： an+a1=S?2?n=912?2?16=114（人） 外圈人数=（90+114）?2=102（人）

内圈人数=（114-90）?2=12（人） 答： 最外圈有102人，最内圈有12人。 练一练：

若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？

答案： 52人

模拟测试（ 4 ）

一、填空题 （每小题5分）

1、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是 。

2、等差数列0、3、6、9、12、……、45是这个数列的第 项。 从2开始的连续100个偶数的和是 。

3、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有 个座位。

4、所有

5、除以4余1的三位数的和是 。

6、时钟在每个整点敲该钟点数，每半点钟敲一下，一昼夜这个时钟一共敲 下。

7、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放 本书，最下面一层放 本书。

8、从200到500之间能被7整除的各数之和是 。

9、在1949、1950、1951、……1987、1988、这40个自然数中，所有偶数之和比所有奇数之和多 。

10、有一列数：1、2002、2001、1、2000、1999、1、……、从第三个数开始，每个数都是它前面两个数中大数减去小数的差，从第一个数开始到第2002个数为止这2002个数的和是 。

二、简答题 (每小题10分)

1、有10只金子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？

2、小明家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从1号开始摸着排下去。小明将全胡同的门牌号数进行口算求和，结果误把1看成10，得到错误的结果为114，那么实际上全胡同有多少家？