河北联合大学
第4章 数值积分与数值微分
§4.5 高斯求积公式 §4.6 数值微分
1. 什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精度是多少？为何称它是具有最高代数精度的求积公式？答：(1) 什么是高斯求积公式：
f(x)?(x)dx，这里?(x)是权函数。求积公式为带权积分I(f)??a
f(x)?(x)dx??Akf(xk) (1)?a
k?0
b
n
b
Ak(k?0,1,?n)为求积系数，x0,x1,x2,?xn为节点。
如果求积公式(1)具有2n?1次代数精度，则称(1)为Gauss型求积公式。其求积节点x0,x1,x2,?xn称为Gauss点。（2）它的求积点是如何确定的：
插值型求积公式的节点a?x0?x1?x2???xn?b是Gauss点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式
?n?1(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)
与任何次数不超过n的多项式p(x)关于权函数?(x)正交，即
p(x)?n?1(x)?(x)dx?0 ?a
b
定理表明在[a,b]上权函数?(x)的n?1次正交多项式的零点就是（1）的Gauss点。
求积系数为
Ak???(x)
ab
?n?1(x)
dx (k?0,1,?,n)??1(x)(x?xk)?n
(3)代数精度是多少：
用n+1个点x0,......xn构造的插值型求积公式的代数精度不超过2n+1。Gauss公式是插值型求积公式中代数精度最高的。
2. 牛顿—科斯特求积和高斯求积的节点分布有什么不同？对同样数目的节点，两种求积方法哪个更精确？为什么？
答：N-C公式是将积分区间[a,b]n等分，步长h=(b-a)/n，节点是等距的：
xi=a+ih（i=0,1,2,...n）；
Gauss求积公式用正交多项式的零点作为求积节点，通常是非等距的，达到2n+1次的代数精度，数值稳定，但节点选取较困难，计算量较大
对于同样数目的节点，Gauss求积公式更精确，因为区间上权函数?(x)的具有n+1个节点的求积公式的代数精度不超过2n+1次，而Gauss求积公式的代数精度为2n+1次，Gauss求积公式可以看成节点相同的情况下代数精度最高的插值型求积公式。3. 怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二重积分？
答：插值型求积公式、复合求积公式、Romberg求积公式、牛顿－科特斯求积公式及其余项、梯形求积公式、龙贝格求积公式 、辛普森(Simpson)求积公式、抛物线求积公式、复合Simpson求积公式、牛顿求积公式、Gauss型求积公式等一维求积公式。
矩形区域上的二重积分的计算一般都是化重积分为累次积分，然后借助定积分已有的数值积分计算公式推导出，
f(x,y)dxdy存在且为一确定的常数，这个数若f(x,y)在D上连续，二重积分??D值与f(x,y)的结构、D的几何形状有关，二重积分计算的基本途径是在一定条件下化为二次积分，本文研究的某些区域的二重积分，要求二重积分在该区域上能化为二次积分。
4. 什么是差商型数值微分？
答：数值微分（Numerical Differentiation）就是用函数的线性组合来近似函数在某些点
上的导数值。
利用差商代替导数，得到以下几种数值微分公式：（1）向前差商公式 f'(x)?（2）向后差商公式 f'(x)?
（3）中心差商公式 f'(x)?
f(x?h)?f(x?h)
2hf(x)?f(x?h)
hf(x?h)?f(x)
h
其中h为步长。由泰勒（Taylor）公式
f(x?h)?f(x)?
可得到它们的误差分别为
f'(x)f''(x)2
h?h??1!2!
高斯求积公式、数值微分
