2021届高三高考数学文科一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值【含答案】

由天下分享时间：2024/12/13 16:24:45 加入收藏我要投稿点赞

2021届高三高考数学文科一轮复习知识点专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值

【考情分析】

1.了解函数的单调性与导数的关系；

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。 3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 4.会用导数求函数的极大值、极小值； 5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。【重点知识梳理】

知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 知识点三函数的极值与导数

f′(x0)＝0 条件 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象形如山峰极值 f(x0)为极大值形如山谷 f(x0)为极小值

极值点 x0为极大值点 x0为极小值点知识点四函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

【特别提醒】

1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.

3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.

4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】

高频考点一求函数的单调区间

例1.【2019·天津卷】设函数f(x)?ecosx,xxg(x)为f?x?的导函数，求f?x?的单调区间。

???5??,2k???(k?Z)时，有44?【解析】由已知，有f'(x)?e(cosx?sinx)．因此，当x??2k??3????,2k???(k?Z)时，得f'(x)?0，则f?x?单调递减；当x??2k??有sinx?cosx，sinx?cosx，

44??得f'(x)?0，则f?x?单调递增．所以，f?x?的单调递增区间为?2k????3???,2k???(k?Z),f(x)的单44?调递减区间为?2k?????5??,2k???(k?Z)． 44?3ππ??2kπ?,2kπ?(k?Z),f(x)??44?【答案】f(x)的单调递增区间为?的单调递减区间为

π5π??2kπ?,2kπ?(k?Z)??44??.

【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法

(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．

(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．

(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．

【变式探究】【2019·浙江卷】已知实数a?0，设函数f(x)=alnx?求函数f(x)的单调区间。

【解析】当a??3x?1,x?0.，当a??时，

433时，f(x)??lnx?1?x,x?0． 44f'(x)??31(1?x?2)(21?x?1)， ??4x21?x4x1?x所以，函数f(x)的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+?）。【答案】

f?x?的单调递增区间是

?3,???,单调递减区间是?0,3?；

x2高频考点二判断函数的单调性

例2．【2020·全国Ⅰ卷】已知函数f(x)?e?ax?x. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥