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高等数学基础形考作业1答案
第1章 函数
C. y?x2 D. y????1,x?0
1,x?0?⒌下列极限存计算不正确的是（D）．
第2章 极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．
2 A. f(x)?(x)，g(x)?x B. f(x)?x2?1 B. limln(1?x)?0 A. lim2x??x?2x?0 C. limsinx1?0 D. limxsin?0
x??x??xxx2，g(x)?x
x?1 x?12⒍当x?0时，变量（C）是无穷小量．
C. f(x)?lnx，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?3⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（C）对称． A. 坐标原点 B. x轴
sinx1 B. xx1 C. xsin D. ln(x?2)
x A.
⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。
A. limf(x)?f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义
x?x0 C. y轴 D. y?x ⒊下列函数中为奇函数是（B）．
C. lim?f(x)?f(x0) D. lim?f(x)?lim?f(x)
x?x0x?x0x?x0
A. y?ln(1?x) B. y?xcosx
2（二）填空题
ax?a?x C. y? D. y?ln(1?x)
2 ⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．
⒉已知函数f(x?1)?x?x，则f(x)? x2-x ．
2⒈函数f(x)?x2?9?ln(1?x)的定义域是?3,???．
x?3 A. y?x?1 B. y??x
1x⒊lim(1?)?e2． x??2x-可编辑修改-
1精选
1?x?⒋若函数f(x)??(1?x),x?0，在x?0处连续，则k? e ．
?x?0?x?k,解： D A R O h E
B
⒌函数y???x?1,x?0的间断点是x?0．
?sinx,x?0⒍若limf(x)?A，则当x?x0时，f(x)?A称为x?x?x0x0时的无穷小量。
（三）计算题
⒈设函数
C
?e,x?0 f(x)???x,x?0求：f(?2),f(0),f(1)．
解：f??2???2，f?0??0，f?1??e?e
1x设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R 直角三角形AOE中，利用勾股定理得
AE?OA2?OE2?R2?h2
则上底＝2AE?2R2?h2 ⒉求函数y?lg2x?1的定义域． x?2x?1??x?0??2x?11?解：y?lg有意义，要求?解得?x?或x?0
x2??x?0???x?0? 则定义域为?x|x?0或x?x2?1⒌求lim．
x??1sin(x?1)⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两
个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．
-可编辑修改-
??1?? 2?h2R?2R2?h2?hR?R2?h2 2sin3x⒋求lim．
x?0sin2xsin3xsin3x?3xsin3x3133解：lim?lim3x?lim3x?＝??
x?0sin2xx?0sin2xx?0sin2x2122?2x2x2x故S?????精选
解：limx?1(x?1)(x?1)x?1?1?1?lim?lim???2
x??1sin(x?1)x??1sin(x?1)x??1sin(x?1)1x?1讨论f(x)的连续性。
2?(x?2)2,x?1?f(x)??x,?1?x?1
?x?1,x??1?tan3x．
x?0xtan3xsin3x1sin3x11解：lim?lim?lim??3?1??3?3
x?0x?0xxcos3xx?03xcos3x1⒍求lim解：分别对分段点x??1,x?1处讨论连续性 （1）
x??1?1?x2?1⒎求lim．
x?0sinxlimf?x??limx??1x??1?x??1?1?x?1(1?x?1)(1?x?1)xlim?lim?lim解：x?0x?0x?0sinx(1?x2?1)sinx(1?x2?1)sinx0 ?lim??0
x?0sinx?1?1??1(1?x2?1)xx?1x⒏求lim()．
x??x?31111?(1?)x[(1?)?x]?1x?1xe?1xxx?x解：lim()?lim()?lim?lim?3?e?4 xx??x?3x??x??x??33e11?(1?)x[(1?)3]3xxx3x2?6x?8⒐求lim2．
x?4x?5x?42222
x??1?limf?x??lim?x?1???1?1?0x??1?x??1?
x所以limf?x??limf?x?，即f?x?在x??1处不连续 （2）
x?1?x?1?limf?x??lim?x?2???1?2??1x?1?x?1?22limf?x??limx?1f?1??1
所以limf?x??limf?x??f?1?即f?x?在x?1处连续
x?1?x?1?由（1）（2）得f?x?在除点x??1外均连续
x?4??x?2?x2?6x?8x?24?22?解：lim2?lim?lim??
x?4x?5x?4x?4?x?4??x?1?x?4x?14?13⒑设函数
高等数学基础作业2答案：
第3章 导数与微分
（一）单项选择题
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⒈设f(0)?0且极限limx?0f(x)f(x)存在，则lim?（C）．
x?0xx A. f(0) B. f?(0) C. f?(x) D. 0cvx ⒉设f(x)在x0可导，则lim1?2?xsin,x?0 ⒈设函数f(x)??，则f?(0)? 0 ． x?x?0?0, ⒉设f(e)?ex2x?5ex，则
df(lnx)2lnx5??dxxx。
h?0f(x0?2h)?f(x0)?（D）．
2h ⒊曲线f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是k?
1。 2
A. ?2f?(x0) B. f?(x0) C. 2f?(x0) D. ?f?(x0)
⒋曲线f(x)?sinx在( ⒌设y?x2xπ,1)处的切线方程是y?1。 22xf(1??x)?f(1)?（A）．
?x?0?x11 A. e B. 2e C. e D. e
24 ⒊设f(x)?e，则limx，则y??2x(1?lnx)
⒍设y?xlnx，则y???1。 x ⒋设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)，则f?(0)?（D）．
（三）计算题
A. 99 B. ?99 C. 99! D. ?99!
⒈求下列函数的导数y?：
⒌下列结论中正确的是（C）．
x⑴y?(xx?3)e
A. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0可导． B. 若f(x)在点x0连续，则在点x0可导．
C. 若f(x)在点x0可导，则在点x0有极限． D. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续．
解:y???xx?3ex?xx?3?ex?2?????31x ?(x?3)e?x2e
2x32⑵y?cotx?xlnx 解：y???cotx?
?????x2?lnx?x2?lnx???csc2x?x?2xlnx
（二）填空题
-可编辑修改-
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x2⑶y?
lnx?sy??x??x?x2?3x??sx?x2??3x??3?x23x(cosx?2x)?(sinx?x2)3xln3?
32xi???x?lnx?x?lnx?2xlnx?x?解：y??
22⑻y?etanx?lnx 解：y??ln2xln2xcosx?2x⑷y? 3x解
：
?e?x?ex1? tanx?e?tanx???lnx??etanx?cos2xxx??x?cy??x?2x?x3??cox?2x??x3?os??⒉求下列函数的导数y?：
?x?32
s⑴y?e解：y??⑵yx
xx(?sinx?2xln2)?3(cosx?2x)?
x4lnx?x2⑸y?
sinx解
：
?e???e?x?1?11?x2?ex 22x?lncosx
解：y??1??sinx???sinx??tanx cosxcos?lnx?x?y??24?1sx(?2x)?(x?x2)c2sinx??lnx?x??sx?x?2s2xsx?x
i⑶y?iiloix xx⑹y?x?sinxlnx 解：y???x????sinx??lnx?sinx?lnx???4x43?sinx?cosxlnx x??1?7?788解：y????x???8x
??⑷y?sin2x
sinx?x2⑺y? x3解
：
解：y??2sin⑸y?x?sinx??2sinx?cosx?2sin2x
?sinx2
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解：
y??cosx2?2x?2xcosx ⑹
y?cosex2
y???sinex2解：?ex2????2xex2sinex2
⑺y?sinnxcosnx 解
y???sinnx??cosnx?sinnx?cosnx???nsn?1xcxcnx?nsnxsnx)
⑻
y?5sinx
解：y??5sinxln5?cosx?ln5cosx5sinx
⑼y?ecosx
解：y??ecosx??sinx???sinxecosx
⒊在下列方程中，y?y(x)是由方程确定的函数，求y?：⑴ycosx?e2y
解：y?cosx?ysinx?2e2yy? y??ysinxcosx?2e2y ⑵y?cosylnx
解：y??siny.y?lnx?cosy.1cosyx y??x(1?sinylnx)
⑶2xsiny?x2y
2解：2xcoy.ys??2siy?n2yx?x2y? y?(2xcosy?x2yxy2y2)?y2?2siny
y??2xy?2ysiny2xy2cosy?x2 ：
⑷y?x?lny
i解：yo??yo??1 y?i?yi?1
nsyy⑸lnx?ey?y2 解：
1x?eyy??2yy? y??1x(2y?ey) ⑹y2?1?exsiny
2yy??excosy.y??siny.ex y??ex解：siny2y?excosy ⑺ey?ex?y3
解：eyy??ex?3y2y? y??ex2ey?3y
⑻y?5x?2y
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5xln5解：y??5ln5?y?2ln2 y?? y1?2ln2xy1?11?1??31?322解：y??x y???????x??x2
22?2?4⑵y⒋求下列函数的微分dy：（注：dy?⑴y?cotx?cscx 解：y??y?dx）
?1cosx?)dx 22?3x
x解：y??3ln3 y???ln3?3x?ln3?ln23?3x
?csc2x?cscxcotx dy?(⑵y?lnxsinx
1xsinx?lnxcosx解：y??sin2x⑶y?sin2x 解：y??2sinxcosx ⑹y?tanex
解：y??sec2ex?ex
⒌求下列函数的二阶导数： ⑴y?x
cosxsinx1sinx?lnxcosx dy?xsin2xdx dy?2sinxcosxdx
dy?sec2ex3?exdx?ex3sec2exdx⑶y?lnx
解：y??1x y????1x2 ⑷y?xsinx
解：y??sinx?xcosx y???cosx?cosx?x??sinx??2cosx?xsinx （四）证明题
设f(x)是可导的奇函数，试证f?(x)是偶函数．
证：因为f(x)是奇函数 所以f(?x)??f(x)
两边导数得：f?(?x)(?1)??f?(x)?f?(?x)?f(x) 所以f?(x)是偶函数。
高等数学基础形考作业3答案：
第4章 导数的应用
（一）单项选择题
⒈若函数f(x)满足条件（D），则存在??(a,b)，使得f?(?)?f(b)?f(a)b?a．-可编辑修改-
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A. 在(a,b)内连续 B. 在(a,b)内可导
C. 在(a,b)内连续且可导 D. 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导 ⒉函数f(x)?x?4x?1的单调增加区间是（D ）． A. (??,2) B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??) ⒊函数y?x?4x?5在区间(?6,6)内满足（A ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数f(x)满足f?(x)?0的点，一定是f(x)的（C ）． A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点
22 A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的
（二）填空题
⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0?(a,b)，且当x?x0时f?(x)?0，当x?x0时
f?(x)?0，则x0是f(x)的 极小值 点．
⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f?(x0)? 0 ． ⒊函数y?ln(1?x)的单调减少区间是(??,0)． ⒋函数f(x)?ex的单调增加区间是(0,??)
⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)． ⒍函数f(x)?2?5x?3x的拐点是?0,2?
322x0?(a,b)，⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，若f(x)满足（ C ），则f(x)在x0取到极小值．
A. f?(x0)?0,f??(x0)?0 B. f?(x0)?0,f??(x0)?0 C. f?(x0)?0,f??(x0)?0 D. f?(x0)?0,f??(x0)?0
⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在此区间内是（ A ）．
（三）计算题
⒈求函数y?(x?1)(x?5)的单调区间和极值． 解：令y??2?x?5?2?(x?1)?2?(x?5)?3(x?5)(x?1)
?驻点x?1,x?5
-可编辑修改-
精选 列表： X (??,1) + 上升 1 0 极大值(1,5) — 下降 5 0 极小值(5,??) + 上升 ?最小值2f(1)?2
y? y 3.求曲线y?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短． 解：设p(x,y)是y?2x上的点，d为p到A点的距离，则：
2极大值：
f(1)?32 32 极小值：f(5)?0
⒉求函数y?x2?2x?3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值． 解：令：y??2x?2?0?x?1(驻点），列表： x （0,1） 1 （1,3） y? + 0 — y 上升 极大值2 下降 y?x2?2x?3??x?1?2?2 f(0)?3f(3)?6f(1)?2
?极值点：f?1??2 ?最大值f(3)?6 0 d?(x?2)2?y2?(x?2)2?2x 令d??2(x?2)?22(x?2)2?2x?x?1(x?2)2?2x?0?x?1?y??2 ?y2?2x上点(1,2)或?1，-2?到点A(2,0)的距离最短。。
4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱
体的体积最大？ 解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V??R2h??(L2?h2)h
令：V???[h(?2h)?L2?h2]??[L2?3h2]?0?L?3hhR?23L?当h?3,R?233L时其体积最大。 5.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V??R2h
S表面积?2?Rh?2?R2?2VR?2?R2 -可编辑修改-
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令：S???2VR?2?4?R?0VV4V??R3?R?3 h?3
2?2??
f?(x)?ex?1?0(当x?0时）?当x?0时,f(x)单调上升且f(0)?答：当R?3V4V h?3时表面积最大。 2???f(x)?0,即ex?(x?1)
6.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 高等数学基础形考作业4答案：
解：设底长为x，高为h。则：
62.5?x2h?h?62.5x2 侧面积为：S?x2?4xh?x2?250x 令S??2x?250x2?0?x3?125?x?5
答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。
（四）证明题
⒈当x?0时，证明不等式x?ln(1?x)． 证：在区间
?1,1?x?上对函数f?x??lnx应用拉格朗日定理，有
ln?1?x??ln1?1?x
其中1???1?x,故1??1，于是由上式可得x?ln(1?x)
⒉当x?0时，证明不等式ex?x?1． 证：设f(x)?ex?(x?1)
第5章 不定积分 第6章 定积分及其应用
（一）单项选择题
⒈若f(x)的一个原函数是1x，则f?(x)?（D）． A. lnx B. ?1x2
C. 1x D. 2x3
⒉下列等式成立的是（D）． A
?f?(x)dx?f(x) B. ?df(x)?f(x)C.
d?f(x)dx?f(x) D.
ddx?f(x)dx?f(x) ⒊若f(x)?cosx，则
?f?(x)dx?（B）．
A. sinx?c B. cosx?c
-可编辑修改-
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C. ?sinx?c D. ?cosx?c ⒋
⒋(tanx)?dx?tanx?c。 ⒌若
?dx2f(x3)dx?（B）． ?dx323?f(x)dx?cos3x?c，则f?(x)??9cos(3x)。
A. f(x) B. xf(x) C.
11f(x) D. f(x3) 3315(sinx?)dx?3 ??32??1⒎若无穷积分?dx收敛，则p?0。 p1x⒍
3⒌若
?f(x)dx?F(x)?c，则?1xf(x)dx?（B）．
（三）计算题
cosA. F(x)?c B. 2F(x)?c C. F(2x)?c D.
⒈
?1xdx??cos1d(1)??sin1?c
?xxxx2x1xF(x)?c
⒉
?exdx?2?exdx?2ex?c
⒍下列无穷限积分收敛的是（D）． ⒊
??11dx??xlnx?lnxd(lnx)?ln(lnx)?c
A.
???11dx B. x⒋
?0edx
x?xsin2xdx????1C.
???11dx D. x?1dx x211111??xdcos2x??xcos2x?cos2xdx??xcos2x?sin2??22224
（二）填空题
⒈函数f(x)的不定积分是
⒌
?e1?f(x)dx。
⒍
e3?lnx1dx??1(3?lnx)d(3?lnx)?(3?lnx)x2e1?7 2⒉若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式
?10xe?2x1?2x111?2x113?21dx??ex??0edx??e?2?e?2x1??e? 00222444F(x)?G(x)?c(常数）。
x⒊dedx?e。
⒎
?e1?2x2ee?1211ex21ee21?122?xlnxdx??1lnxdx?lnx??1xdx??e??e? ?122222?21?4?4-可编辑修改-
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e⒏
?elnxx2dx??1xlnxe??e1112dx??11e?x??2e?1 1x1（四）证明题
⒈证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为奇函数，则?a?af(x)dx?0．
证:令x??t?aa?af(x)dx????aaf(?t)dt??a?af(?t)dt????af(t)dt
??aaa?af(x)dx????af(x)dx???af(x)dx?0 证毕
⒉证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为偶函数，则?aa?af(x)dx?2?0f(x)dx．证：
?a0a?af(x)dx???af(x)dx??0f(x)dx
令x??t,则?0?0f(?t)dt??a?af(x)dx??a0f(t)dt?f(x)是偶函数
?a(x)dx??0f(x)dx??af(x)dx??aaa?af?a00f(x)dx??0f(x)dx?2?0f(x)dx
证毕-可编辑修改-
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高等数学（1）学习辅导(一) 第一章 函数
⒈理解函数的概念；掌握函数y?f(x)中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。 两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。 ⒉了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性。
若对任意x，有f(?x)?f(x)，则f(x)称为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称。
④对数函数：
y?logax(a?0,a?1)
⑤三角函数：sinx,cosx,tanx,cotx ⑥反三角函数：arcsinx,arccosx,arctanx
⒋了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。 如函数
y?earctan(1?x)
u2y?e可以分解，u?v，v?arctanw，w?1?x。分解后的函数前三个都是基本
2初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的和。 ⒌会列简单的应用问题的函数关系式。
若对任意x，有f(?x)??f(x)，则f(x)称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。 例题选解 掌握奇偶函数的判别方法。
掌握单调函数、有界函数及周期函数的图形特点。
⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 基本初等函数是指以下几种类型：
①常数函数：y?c
?y?x②幂函数：
xy?a③指数函数：
一、填空题
1f()?x?1?x2(x?0)x⒈设，则f(x)? 。
t?解：设
11x?x，则t，得
(?为实数) (a?0,a?1)
111?1?t2f(t)??1?2?ttt
1?1?x2f(x)?x故。
-可编辑修改-
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1f(x)??5?xln(x?2)⒉函数的定义域是 。
解：对函数的第一项，要求x?2?0且ln(x?2)?0，即x?2且x?3；对函数的第二项，要求5?x?0，即x?5。取公共部分，得函数定义域为(2,3)?(3,5]。 ⒊函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(lnx)的定义域是 。
22f(x)?lnx,g(x)?2lnx； f(x)?x,g(x)?x A.； B.
x2?1f(x)?,g(x)?x?13f(x)?lnx,g(x)?3lnxx?1C.； D.
解：A中两函数的对应关系不同,
x2?x?x， B, D三个选项中的每对函数的定
义域都不同，所以A B, D都不是正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应解：要使f(lnx)有意义，必须使0?lnx?1，由此得f(lnx)定义域为[1,e]。
关系相同，故选项C正确。
y?x2?9 ⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)－f(?x)的图形关于（⒋函数
x?3的定义域为 。
对称。
y?x2?9?x?3解：要使
x?3有意义，必须满足x2?9?0?且x?3?0，即?x?3成立，
A.y＝x； B.x轴； C.y轴； D.坐标原点 ??x?3或x??3解：设F(x)?f(x)?f(?x)，则对任意x有
解不等式方程组，得出?x?3，故得出函数的定义域为(??,?3]?(3,??)。
F(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)??(f(x)?f(?x))??F(x)
(x)?ax?a?xf⒌设2，则函数的图形关于 对称。
即F(x)是奇函数，故图形关于原点对称。选项D正确。
解：f(x)的定义域为(??,??) ，且有
3．设函数f(x)的定义域是全体实数，则函数f(x)?f(?x)是（ ）． a?x?a?(?x)(?x)?a?x?axax?a?xf A.单调减函数； B.有界函数； 2?2?2?f(x)
C.偶函数； D.周期函数 即f(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。 解：A, B, D三个选项都不一定满足。
二、单项选择题
设F(x)?f(x)?f(?x)，则对任意x有
⒈下列各对函数中，（ ）是相同的。
F(?x)?f(?x)?f(?(?x))?f(?x)?f(x)?f(x)?f(?x)?F(x)
-可编辑修改-
）精选
即F(x)是偶函数，故选项C正确。
f(x)?xax?1⒋函数ax?1(a?0,a?1)（ ）
A.是奇函数； B. 是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。
解：利用奇偶函数的定义进行验证。
?x?xxxf(?x)?(?x)a?1a?x?1??xa(1?a)a?x(1?ax)?xa?1ax?1?f(x)
所以B正确。
f(x?1)?x21⒌若函数
x?x2，则f(x)?（ ） A.x2； B. x2?2；
C.(x?1)2； D. x2?1。
x2?1解：因为
x2?x2?2?1x2?2?(x?1x)2?2
f(x?1)?(x?1)2?2所以xx
则
f(x)?x2?2，故选项B正确。 第二章 极限与连续
⒈知道数列极限的“??N”定义；了解函数极限的描述性定义。⒉理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。
无穷小量的运算性质主要有：
①有限个无穷小量的代数和是无穷小量；
②有限个无穷小量的乘积是无穷小量；
③无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。
⒊熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小量的运算性质，有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方法。 求极限有几种典型的类型
klima2?x?a(a2?xk?a)(a2?xk?a)xk?lim1（1）
x?0x?0xk(a2?xk?a)?2a
limx2?ax?b(x?x0)(x?x1)（2）x?xx?x?lim0?x?x?x0?x10x0x0 ?n?mlimaxn?a?1?001xn???an?1x?an?a0x?x??n?m0b0xm?b1xm?1???bm?1x?bm?b0（3）
???n?m
⒋熟练掌握两个重要极限：
limsinx x?0x?1
-可编辑修改-
精选
11xlim(1?)?elim(1?x)x?ex??x （或x?0）
x?x0x?x0若f(x)在点的左、右极限有一个不存在，则称为f(x)的第二类间断点。
⒍理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数，初等函数在
重要极限的一般形式：
其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。
sin?(x)?1?(x)?0?(x)
lim11f(x)lim(1?)?elim(1?g(x))g(x)?ef(x)??f(x) （或g(x)?0）
典型例题解析
利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极
限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如
一、填空题
sinxsinxlimsinx11x?0x1lim?lim?x???x?0sin3xx?03sin3xsin3x33limx?03x3x
2x222?2?1?(1?)lim[(1?)]??x?2xe2x??xxxlim()?lim??lim???1?e3?x??x?1x??x??11?x?1e?1?1?(1?)xlim[(1?)]x????xx?x??
⒌理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。 间断点的分类： 已知点
xxx2sin ⒈极限x?0limsinx1x? 。
1x?lim(xsin1x)?limxsin1?limx?0?1?0limx?0x?0xsinxxx?0sinx解：x?0sinx
x2sinlimxsin1?0x（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）
注意：x?0limx?x0x111?lim???1x?0sinxx?0sinxsinx1sinxlimlimx?0xx，其中x?0x=1是第一个重要极限。
是的间断点，
x?x0x?x0若f(x)在点的左、右极限都存在，则称为f(x)的第一类间断点；
-可编辑修改-
精选
1??xsinf(x)??x??x?1⒉函数
x?0x?0的间断点是x? 。
limxsinx?01?0x（无穷小量?有界变量=无穷小量）
解：由f(x)是分段函数，x?0是f(x)的分段点，考虑函数在x?0处的连续性。
故选项B正确。
limxsin1x?0xlim因为
x?0??0?(x?1)?1f(0)?1
所以函数f(x)在x?0处是间断的，
又f(x)在(??,0)和(0,??)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x?0。⒊⒋⒌⒍设
f(x)?x2?3x?2，则f[f?(x)]? 。
解：f?(x)?2x?3，故
f[f?(x)]?(2x?3)2?3(2x?3)?2?4x2?18x?20
⒎函数
y?ln(1?x2)的单调增加区间是 。
二、单项选择题
f(x)?xsin1 ⒈函数
x在点x?0处（ ）． A.有定义且有极限； B.无定义但有极限； C.有定义但无极限； D.无定义且无极限 解：f(x)在点x?0处没有定义，但
⒉下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。
1sinx A.ex,(x??),(x??)； B.x；x?1?1,(C. ln(1?x),(x?1)； D.xx?0)
解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以
limsinxx??x?0
而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。
三、计算应用题 ⒈计算下列极限：
limx2?3x?2x?3?x ⑴x?2x2?4x?12lim() ⑵ x??x?1
(3)lim(x?1)10(2x?3)51?x?1 x??12(x?2)15lim （4）
x?0sin3x ?x2?3x?2(x?1)(x?解：⑴
x2?4x?12?2)(x?2)(x?6)?x?1x?6 -可编辑修改-
精选
x2?3x?2x?11lim2lim?x?2x?2x?4x?12=x?68 ?lim(n??x?3?x)x?1⑵
11(1?)xlim[(1?)?x]?1x?1xe?11n??xx?lim()?lim???x34n??x?3n??3xee3(1?)lim[(1?)3]3xn??x
1?xsin?bx?0?x?f(x)??ax?0?sinxx?0?x?
问（1）a,b为何值时，f(x)在x?0处有极限存在？
（2）a,b为何值时，f(x)在x?0处连续？
⑶ 题目所给极限式分子的最高次项为
x10?(2x)5?32x15
分母的最高次项为12x，由此得
15lim?f(x)?lim?f(x)f(x)x?0xx?0解：（1）要在处有极限存在，即要?0成立。
lim(x?1)(2x?3)328??x??123 12(x?2)15105x?0lim?f(x)?lim?x?0sinx?1x1?b)?bx
（4）当x?0时，分子、分母的极限均为0，所以不能用极限的除法法则。求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。
因为x?0lim?f(x)?lim?(xsinx?0lim?f(x)?lim?f(x)b?1xx?0所以，当时，有?0成立，即b?1时，函数在x?0处有极限
存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。
（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是
x?x0?1?x?1(1?x?1)(1?x?1)1?x?1lim?lim?limx?0x?0x?0sin3xsin3x(1?x?1)sin3x(1?x?1)
13x1111??lim?lim???x?03x?0sin3xx?01?x?1326sin3x(1?x?1)= lim2.设函数
?x
limf(x)?lim?f(x)?f(x0)x?x0
于是有b?1?f(0)?a，即a?b?1时函数在x?0处连续。 第三章 导数与微分
导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点：
-可编辑修改-
精选
⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。
（3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法
（5）参数表示的函数的求导法
正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如
一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，
f(x)在点x?x0处可导是指极限 limf(x0??x)?f(x0)?x
?x?0存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限
x?x0limf(x)?f(x0)x?x0y?例如函数
(x?1)2x，求y。
?x?x0f?(x0) 函数f(x)在点处的导数的几何意义是曲线y?f(x)上点(x0,f(x0))处切线的斜率。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。如果我们把函数先进行变形，即
(x,f(x0))曲线y?f(x)在点0处的切线方程为 y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)
y?
(x?1)2x?x2?2x?1x?x?2x?x3212?12
再用导数的加法法则计算其导数，于是有
?31?y??x2?x2?x222
113xxx函数y?f(x)在0点可导，则在0点连续。反之则不然，函数y?f(x)在0点连
续，在
x0点不一定可导。
这样计算不但简单而且不易出错。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。 ⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则
y?又例如函数
x?13x?2，求y?。
显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得
lny?-可编辑修改-
11ln(x?1)?ln(x?2)23
精选
两端求导得 一阶微分形式的不变性
y?11??y2(x?1)3(x?2)
整理后便可得
???dy?y?xdx?yu?uxdx?yudu
微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。
y??3x?82x?26(x?x?2)
?x?1⒍了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数。
函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。要求函数的n阶导数就要先求函数的n?1阶导数。
第三章 导数与微分典型例题选解
若函数由参数方程
?x??(t)??y??(t)
的形式给出，则有导数公式
dy??(t)?dx??(t)
能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。 ⒋熟练掌握微分运算法则
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
一、填空题
?⒈设函数f(x)在x?0邻近有定义，且f(0)?0,f(0)?1，则
f(x)lim?x?0x 。
limf(x)f(x)?f(0)?lim?f?(0)?1x?0xx?0
d(u?v)?du?dv d(u?v)?vdu?udv
解：x?0故应填1。
uvdu?udvd()?vv2
(v?0)
-可编辑修改-
精选
y?⒉曲线
1x在点（1，1）处切线的斜率是 。
1111??22A.x； B. x； C. x； D. x ?解：先要求出f(x)，再求f(x)。
x?x0f?(x0)解：由导数的几何意义知，曲线f(x)在处切线的斜率是，即为函数在
33y???1x?2,y?(1)??1x?2该点处的导数，于是
22??1x?12
?1故应填2。
⒊设
f(x)?x2?4x?5，则f[f?(x)]? 。 解：f?(x)?2x?4，故
f[f?(x)]?(2x?4)2?4(2x?4)?5?4x2?24x?37
故应填4x2?24x?37 二、单项选择题
x)?x2limf(x)?f(2) ⒈设函数f(，则x?2x?2?（ ）。
A.2x； B.2； C.4； D不存在
limf(x)?f(2)解：因为x?2x?2?f?(2)，且f(x)?x2，
所以
f?(2)?2xx?2?4，即C正确。
f(1) ⒉设x?x，则f?(x)?（ ）。
f(1x)?x?11f(x)?1f?(x)?(1)??1因为
x?，由此得x，所以xx2 即选项D正确。
3．设函数f(x)?(x?1)x(x?1)(x?2)，则f?(0)?（ ）．
A.0； B.1； C.2； D.?2 解
：
因
为
f?(x)?x(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)(x?2)?(x?1)x(x?2)?(x?1)x(x?1)，其
中的三项当x?0时为0，所以
f?(0)?(0?1)(0?1)(0?2)?2
故选项C正确。
4．曲线y?x?ex在点（ ）处的切线斜率等于0。
A.(0,1)； B.(1,0)； C.(0,?1)； D.(?1,0)
解：y??1?ex，令y??0得x?0。而y(0)??1，故选项C正确。
-可编辑修改-
精选
2y?sinx5． ，则y??（ ）。
求导公式，一层一层求导，关键是不要遗漏，最后化简。
22A.cosx； B.?cosx； C.2xcosx； D.?2xcosx
222??y?cosx?(x)?2xcosx解：
223.设函数y?y(x)由方程
xy?ey?lnxdyy确定，求dx。
解：方法一：等式两端对x求导得
故选项C正确。 三、计算应用题
sinxy?tan2x?2⒈设，求
y?xy??y?ey?yy?xy??xy2
dyx??2
整理得
解：⑴由导数四则运算法则和复合函数求导法则
y??2sinx?cosx?2ln22cos2x
y?xy2y??2xy?xyey?x
方法二：由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得
yyy?d(xy?e)?d(xy)?d(e)?ydx?xdy?edy 左端
由此得
dyx??22?sin2?(?cos?2ln2)dx?2dx2cos2?
?xf(x)?y?f(e)e⒉设，其中f(x)为可微函数，求y。
xyxyydx?xdy?d(ln)?d()??2yxyxy右端
由此得
??解 y?[f(e)]exxxf(x)?f(e)[ef(x)xxf(x)]? [f(x)]?
?? =f(e)[e]e?f(e)ef(x)ydx?xdy?eydy?yydx?xdy?xy2
?(ex)exef(x)?f(ex)ef(x)f?(x)f =
f(x)?(ex)ex?f(ex)f?(x)]e[f=
整理得
求复合函数的导数时，要先搞清函数的复合构成，即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要分清复合函数的复合层次，然后由外层开始，逐层使用复合函数
dyy?xy2?dxx2y?xyey?x
4.设函数y?y(x)由参数方程
-可编辑修改-
精选
?t2??x??2?y?1?t
dy确定，求dx。
解：由参数求导法
dyyt??dx?x?1??1t?2tt2
25．设y?(1?x)arctanx，求y??。
y??2xarctanx?(1?x2)11?x2?2xarctanx?1解
y???(2xarctanx?1)??2arctanx?2x1?x2
第四章 导数的应用典型例题
一、填空题
1.函数y?ln(1?x2)的单调增加区间是 .
y???2x解：
1?x2，当x?0时y??0.故函数的单调增加区间是(??,0).
limlnx2.极限x?11?x? .
解：由洛必达法则
1limlnxx?11?x?lim(lnx)?x?1(1?x)??limxx?1?1??1
f(x)?12(ex?e?x)3.函数
的极小值点为 。
f?(x)?12(ex?e?x)解：
，令f?(x)?0，解得驻点x?0，又x?0时，f?(x)?0；
x?0f(x)?1(ex?e?x时，f?(x)?0，所以x?0是函数
2)的极小值点。
二、单选题
1.函数
y?x2?1 在区间[?2,2]上是（ ） A） 单调增加 B）单调减少
C）先单调增加再单调减少 D）先单调减少再单调增加
解：选择D
y??2x，当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0；所以在区间[?2,2]上函
-可编辑修改-
精选
2y?x?1先单调减少再单调增加。 数
A）取得极大值 B）取得极小值 C）一定有拐点解：选择D
2. 若函数y?f(x)满足条件（ ），则在(a,b)内至少存在一点?(a???b)，使得
(x0,f(x0)) D）可能有极值，也可能有拐点
f?(?)?成立。
f(b)?f(a)b?a
函数的一阶导数为零，说明
x0可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零，说明
x0可
能是函数的拐点，所以选择D。 三、解答题 1.计算题
求函数y?x?ln(1?x)的单调区间。
解：函数y?x?ln(1?x)的定义区间为(?1,??)，由于
A）在(a,b)内连续； B）在(a,b)内可导；
C）在(a,b)内连续，在(a,b)内可导； D）在[a,b]内连续，在(a,b)内可导。 解：选择D。
由拉格朗日定理条件，函数f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导，所以选择D正确。
y??1?
1x?1?x1?x
?3. 满足方程f(x)?0的点是函数y?f(x)的（ ）。
A）极值点 B）拐点 C）驻点 D）间断点 解：选择C。
依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。
?令y?0，解得x?0，这样可以将定义区间分成(?1,0)和(0,??)两个区间来讨论。??当?1?x?0时，y?0；当0?x???是，y?0。
由此得出，函数y?x?ln(1?x)在(?1,0)内单调递减，在(0,??)内单调增加。 2.应用题
欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？
解：设底边边长为x，高为h，所用材料为y
-可编辑修改-
x?(a,b)f?(x0)?f??(x0)?0x?x04.设函数f(x)在(a,b)内连续，0，且，则函数在
处（ ）。
精选
108xh?108,h?2x 且
22y?x?4xh
两边同时取以e为底的指数，有elnx?ex?1
exx?e 即
所以当x?1时，有不等式
e?xe 成立.
第5章学习辅导（2）
x?x2?4x
1084322?x?x2x2
?4322x3?432y??2x??2xx2
?令y?0得2(x?216)?0?x?6，
??且因为x?6,y?0;x?6,y?0，所以x?6,y?108为最小值.此时h?3。
于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。
3典型例题解析
3．证明题：当x?1时，证明不等式
一、填空题
e?xe
证 设函数f(x)?lnx，因为f(x)在(0,??)上连续可导，所以f(x)在[1,x]上满足拉格朗日中值定理条件，有公式可得
线方程为
x⒈曲线在任意一点处的切线斜率为2x，且曲线过点(2,5)，则曲线方程为 。
2xdx?x解：?2?c2y?x?c。将点(2,5)代入得c?1，所求曲，即曲线方程为
? f(x)?f(1)?f(c)(x?1)
其中1?c?x，即
y?x2?1
2?arctanxf(x)⒉已知函数的一个原函数是，则f(x)? 。
1lnx?ln1?(x?1)c
1?1c?1c又由于，有
故有 lnx?x?1
f(x)?(arctanx2)??解：
2x1?x4
-可编辑修改-
精选
f?(x)?(2x2(1?x4)?8x42?6x4
1?x4)??(1?x4)2?(1?x4)2 ⒊已知F(x)是f(x)的一个原函数，那么?f(ax?b)dx? 。
解：用凑微分法
?f(ax?b)dx?1a?f(ax?b)d(ax)?1a?f(ax?b)d(ax?b)?1
?dF(ax?b)?1F(ax?b)?c aa
二、单项选择题
⒈设?f(x)dx?xlnx?c，则f(x)?（
）。
A. lnx?1； B. lnx； C. x； D. xlnx 解：因
f(x)?(xlnx)??lnx?xx?lnx?1
故选项A正确．
⒉设F(x)是f(x)的一个原函数，则等式（ ）成立。
d( A.dx?f(x)dx)?F(x)； B.?F?(x)dx?f(x)?c；C.?F?(x)dx?F(x)d(； D.dx?f(x)dx)?f(x)
解：正确的等式关系是
ddx(?f(x)dx)?f(x)
?F?(x)dx?F(x)?c
故选项D正确．
⒊设F(x)是f(x)的一个原函数，则?xf(1?x2)dx?（ ）。 A. F(1?x2)?c； B.
?F(1?x2)?c；?12F(1?x2)?cC.
； D. F(x)?c
解：由复合函数求导法则得
[?12F(1?x2)]???12f(1?x2)(1?x2)?
??1f(1?x2)(1?x2)??xf(1?x2 2)
故选项C正确．
三、计算题 ⒈计算下列积分：
-可编辑修改-
精选
⑴
?x1?x2dx ⑵
?1?x2dxx2
?xarcsinx?1?x?c ⑵利用分部积分法
2解：⑴利用第一换元法
?x1?x2dx??121?x2d(x2)???121?x2d(1?x2) lnx1lnx1dx?lnxd(?)???d(lnx)?x2??xxx
lnx1lnx1????2dx????cxxxx
???d(1?x2)?1?x2?c
⑵利用第二换元法，设x?sint，dx?costdt
2?1?xx2dx??cost?cost1?sin2t?1sin2tdt??sin2tdt?(sin2t?1)dt ?cott?t?c??1?x2? x?arcsinx?c
⒉计算下列积分：
lnx ⑴?arcsinxdx ⑵?x2dx
解：⑴利用分部积分法
?arcsinxdx?xarcsinx??xd(arcsinx)?xarcsinx??x1?x2dx?xarcsinx??121?x2d(1?x2)
高等数学（1）第六章学习辅导
综合练习题 （一）单项选择题
（1）．下列式子中，正确的是（ A.
?22f(x)dx?0 B. 121C. ?0xdx??0xdx D.
(2). 下列式子中，正确的是（?? ??0tdt??xcos??cos A. ?x???x??0costdt??0C. ?? -可编辑修改-
?a b f ( x ) dx ? ?b a f ( x ) dx ?1103x2dx??03t2dt ）
??/ B. ??2costdt???cosx? ? 0 ????x?? D. ??0costdt???cosx
）。
精选
(3) 下列广义积分收敛的是（ ）。
根据定积分定义可知，定积分值与函数及定积分的上、下限有关，而与积分变量的选取无关。 故D不正确。
A 0C. ????0??edxx? .B.
??11dxx
(2) 由变上限的定积分的概念知
cosxdx? D.
??1x12adx
(4) A. ?C．
0?a若f(x)是[?a,a]上的连续偶函数，则
??x?????costdt??cosx?0?,?af(x)dx?()?0????xcostdt???cosx?? ∴A、C不正确。
。
由定积分定义知 B不正确。 D正确。
f(x)dx0?a B． 0 D．?a02?f(x)dxf(x)dx
(3) ?
(5)
若f(x)与g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线
???0exdx?limb???xb0edx?(e?e)???lim?0b???b ∴A不正确。
x?a,x?b所围图形的面积( ).
A.?baf(x)?g(x)dx B. ?ba(f(x)?g(x))dx C.
?ba(g(x)?f(x))dx D.
?ba(f(x)?g(x))dx??
??1b11dx?lim?dx?limlnx1xxb???b???b1?lim(lnb?ln1)???b???∴B。不正确。
答案：（1） A；（2）D； （3）D； （4）C； （5）A。 解：（1）根据定积分定义及性质可知 A正确。 而
??
?1??0cosxdx?limb????cosxdx?lim(sinb?sin0)0b???b1b不存在。∴C。不正确。
? ? D
?abf(x)dx???f(x)dxabb1dx?lim?12dx?lim(?1xxxb???b???121_)?lim(??1)?1bb??? B不正确。
1100在（0，1）区间内
x2?x??x2dx??xdx? C 不正确。
-可编辑修改-
精选
D正确
（4）由课本344页 （6—4—2）和345页（6—4—3）知C。正确。
（4）
（5）所围图形的面积始终是在上面的函数减去在下面的函数 ∴ A正确。
（5）
（二） 填空题
（3）
S=
2?sinxdx??2cosx0??0??2?cos??cos0??4
由定积分的几何意义知: 定积分的值等于
y= 所围图形的面积∴p≤1时 无穷积分发散。
4?x2?2014?x2dx??22??4
?lim(1)
x?0x（三） 计算下列定积分
0costdtx?_________
(1）
?4012?xdx
(2)
设F(x)?te?2dt,x1则F?(x)?____________.(2）?0x(1?x)dx e (3) 在区间?0,2??上，曲线y?sinx和x轴所围图形的面积为______________。 (4) ?201?lnxdx?1x（3）
4?xdx?______________??22（4） x 2 1 ? xdx
??10 (5) 答案：
p?_________,无穷积分?a1dx发散px (a＞0 p＞0 )
（5）?答案：
20xsin2xdx
解：（1）x?0lim?x0costdtxx2tcosx?lim?cos0?11x?0
?F?(x)?(??edt,)???e(x)???2xe1x2tx22x2?(1）
积
(2）
402?xdx??(2?x)dx??(x?2)dx?(2x?022412x)2201?(x2?2x)242?4
（2）
F(x)???edt,1?1021x(1?x)dx?(x2?x2)32e310?76
2e1（2） 所围图形的面
e1?lnx1dx?(1?lnx)d(1?lnx)?(1?lnx)??11x2（3）
?32
-可编辑修改-
精选
（4） x 2 1 2 dx ? x?10A、n??limsn?0； B、
an单调上升；
不存在
2???111?cos4t1222原式??2sintcostdt??2sin2tdt??2dt?(x0404028?20解: 设x?sint (0?t??)dx?costdtC、n???20liman?0 D、n??liman??1?2?sin4t0)?(an?bn)?42、当条件（16 ）成立时，级数n?1一定发散。
12xsin2xdx??xcos2x?02(5)
（四）定积分应用
??201?1??2cos2xdx??sin2x2044???4
A、
?an?1??n发散且
?bn?1?n收敛； B、
?an?1??n发散；
C、n?1?bn发散； D、n?1?a?n和n?1?bn都发散。
求由曲线yx?1,及直线y?x,y?2所围平面图形的面积
3、若正项级数
解：画草图 求交点 由 y=x, xy=1得x=1 .y=1
y 2 y=2 ?an?1?n收敛，则（ ）收敛。
所求平面图形面积 y=x 0 xy=1
第七章综合练习题 （一）单项选择题
A、
x A、n?121??an? B、n?12?a?2n
?11A??(y?)dy?(y2?lny)1y22?3(an?c)(an?c)???ln2C 、n?1 D、n?1 24、若两个正项级数确的。
?an?1?n、
?bn?1?n满足，
an?bn(n?1,2,?)则结论（ ），是正
?an?1??n发散则
?bn?1??n发散； B、
?an?1??n收敛则
?bn?1??n收敛；
1、若（ ）成立，则级数n?1?a?nC、n?1发散，其中Sn 表示此级数的部分和。
-可编辑修改-
?an发散则n?1?bn收敛； D、n?1?an收敛则n?1?bn发散。
精选
5、 若f(x)=
?an?0?nxn, 则
an
= ( )。
1(f(0))(n)f(n)(x)f(n)(0)n! B n!、 C n! D、n!
A、
xn?n! 5、C ( 0 ,6 )
答案：1、<1 2、发散 3、收敛 4、n?0?（三）计算题
1、 判断下列级数的收敛性
答案：1、D 2、A 3、B 4、A 5、C
（二）填空题
解：⑴此正项级数的通项满足
?3n!1??nnn(n?1)n?1n?1⑴ ⑵ ⑶
?n?n?1?(?1)nn
11?2n(n?1)n n=2,3,….
1、 当
q_________时，几何级数n?0??aqn?n收敛。
?11??2nn?1 由于收敛，则由比较判别法可知n?1n(n?1)收敛。
?11(?)?nn是___________级数。 52、 级数n?13n?1(n?1)!n?1an?1nn33??n?1lim?lim?lim3()?lim?nn??an??n??3(n)!n??n?11nen(1?)nn?n?⑵>1
3、 若级数
?n?0?an收敛，则级数
x?an?0?n_____________。
4、 指数函数f(x)= e展成 x的幂级数为__________________。
3nn!?nnn?1 则由比值判别法可知发散。
?n5、 若幂级数n?0间为 ___________。
?a?nyn的收敛区间为（—9 ，9 ），则幂级数n?0?a?(x?3)2n的收敛区⑶ 由于n?1??(?1)n11??an?1,n?1,2,...n是交错级数，且an=nn?1
?n(?1)1liman?lim?0?n??nn收敛。 及n??，由莱布尼兹判别法知级数n?12、 求下列幂级数的收敛半径
-可编辑修改-
精选
?xn⑴ ?n?1n ⑵
??(x?1)2nn?14nn ??liman?1n解：⑴
n??a?limnn??n?1?1 因此收敛半径R=1，
?yn ⑵ 令(x?1)2?y, 得幂级数?n?14nn
1??liman?1?lim4n?1(n?1) n??ann??1?limn1n??4(n?1)?44nn
??yn可知
n?14nn的收敛半径为4 ，所以原幂级数的收敛半径
第八章综合练习题及参考答案 （一）单项选择题
1、 下列阶数最高的微分方程是 （ ）。
A、；y?y???(y???)3?sin(x?y) B、xy???5y??y5?6y?x3；C、y???6y?4x?2 D、(y?)2?2yy??x?0
2、下列一阶微分方程中为可分离变量的微分方程是（ ）。
A、；xy??6y?x3 B、5y??xyexy
C、y??xy?y D、y??2y?sin(x?y) 3、微分方程y???y?0的通解为（ ）。
A、y?c1ex?c2e2x B、y?c1e?x?c2e?2x
C 、y?c1sinx?c2cosx D、y?c1sin2x?c2cos2x
y??yx?04、微分方程
的通解为（ ）。
1y?1x?cA、； B、y?x?c
C、y?x； D、lny?lnx
5、微分方程y???2y??y?e?xcosx的特解应设为
y??（ ）。 xcosxA、 y?xe?x(c1cosx?c2?x2sin) B 、y?xe(c1cosx?c2sin)C y?ce?xcosx D、
y?e?x(c1cosx?c2sin)
答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D
-可编辑修改-
精选
（二）填空题
2x?y?y?e3、 ⑴求一阶微分方程的满足y(0)?0的特解
? ⑵求一阶微分方程的xy?y?sinx满足y(?)?0的特解 ⑶
y2xedy?edx，两边积分得方程的通解为 解：⑴微分方程变为
?6、 一阶线性微分方程的y?p(x)y?q(x)通解公式为_________。 ???7、 二阶线性微分方程y?6y?13y?0的特征根为_________。
8、 二阶线性微分方程的通解中含有____________独立的任意常数。
ey?
12xe?c2
c?111ey?e2x?2， 故微分方程的的特解22
??9、 二阶微分方程y?x的通解为_____________。
10、
若y是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，y?c1y1?c2y2为其相应的齐
? 由条件y(0)?0得⑵方法一
由一阶线性微分方程的通解公式得
次微分方程的通解，则非齐次微分方程的通解为_________________。
答案：1、
方法二
?p(x)dxp(x)dxy?e?(?q(x)e?dx?c)?y?e
2、??3?2i 3、两个
?xdx1(?sinxe?xdx1dx?c)?1(?cosx?c)x
由条件y(?)?0得c??1,故微分方程的的特解
y?1(?cosx?1)x
y? 4、
（三）计算题
13x?c1x?c2?y?y?c1y1?c2y2 6 5、
? 由微分方程可得(xy)?sinx，两边积分得方程的通解为
由条件y(?)?0得c??1,故微分方程的的特解
y?1(?cosx?c)x
y?1(?cosx?1)x
???5y??6y?3e2xy2、⑴求微分方程的通解
解：原方程对应的齐次方程的特征方程为??5??6?0
2-可编辑修改-
精选
特征根为?1??3,?2??2，
?3x?2xy?ce?ce12 故齐次微分方程的通解（其中c1,c2为任意常数）
一．填空题
y?A?320
1．函数
x?4ln(x?1)的定义域为 x?1且x?2 。
2x2x 设原方程的一个特解应为y?Ae，代入方程得20Ae?3e得
?2xy? 故微分方程的通解
32xe?c1e?3x?c2e?2x20（其中c1,c2为任意常数）
?x?4?0?x??4??x?1?0解：???x?1?x?1且x?2?ln?x?1??0?x?1?1??y?2．函数
ln(x?1)4?x2的定义域是 ?1?x?2 。
2x???y?4y?4y?esin5x的通解 ⑵求微分方程
解：原方程对应的齐次方程的特征方程为??4??4?0 得特征根为?1??2?2，
?2xy?(c?cx)e12 故齐次微分方程的通解（其中c1,c2为任意常数）
2?x?1?0?x??1解：???1?x?2??2?2?x?2?4?x?0?
y?3．函数
x?2x?3的定义域是 x??2且x?3 。
设原方程的一个特解应为y?e(Acos5x?Bsin5x)，代入方程得
?2xA?0,B??
125 y???x?2?0?x??2解：???x?3?0??x?3
2f(x?2)?x?2，则f(x)? x2?4x?6 。 4．设
故微分方程的通解
高等数学基础综合练习题解答
12xesin5x?(c1?c2x)e2x225（其中c1,c2为任意常数） 解：设x?2?t，则x?t?2且原式f(x?2)?x?2
即
f(t)??t?2??22＝t?4t?2
22亦即f(x)?x?4x?2
4?x?f(x)??(1?x),??k,4．若函数
x?0x?0在x?0处连续，则k= e?4 。
-可编辑修改-
精选
函数f?x?在x=0连续,则limf?x??f?0?x?0f'(ln2x)?e?4＝
limf?x??lim?1?x??lim?1?x?x?0x?0x?04x1????4?x11f'(ln2x)dx?2x?'dx2x＝x
f(0)?k?k?e?4
?xy?e5．曲线在x?0处的切线方程为 y?1??x 。
1y?x3?2x2?3x?2,3?内是 单调递减且凹 。39.（判断单调性、凹凸性）曲线在区间
解：
y??x2?4x?3??x?3??x?1?,当2?x?3时，y??0?曲线下降y???0?曲线是凹的
曲线解：
y?f?x?y?y0?y?x?x?x0?x0,y0??在点处的切线方程为
0y???2x－4?y?x?0???e?x?x?0??1，
x0?0时，y0?e0?1
2f(x)?x?1，则f(f?(x))? 4x2?1 。 10．设
y?1??(x?0)?y?1??x，
解：
f'(x)??x2?1?'?2x1?1，
f(f?(x))?f?2x???2x??1?4x2?12，
ln(x?3)y?x?1的连续区间为 ??3,?1?,??1,??? 。 6. 函数
初等函数在其定义区间连续。
?11．
x3(1?cosx)dx? 0 。
解：x是奇函数；1和cosx是偶函数，由于偶+偶=偶，则1?cosx是偶函数，
3?x?3?0ln(x?3)?y?x?1??x?1?0?x??3且x??1???3,?1?,??1,???
7．曲线y?lnx在点(1,0)处的切线方程为 y?x?1 。
因为奇?偶＝奇，所以x3?1?cosx?是奇函数，??1,1?是对称区间
奇函数在对称区间上的积分为零
解：y??x?1??lnx?x?1??y?0?1?x?1?1x?1?1,x?y?x?1
2x(x?1?x)dx???112． 3 。
121f'(lnx2d)xy?f(ln2x)dy?x8. 设函数可导，则 。
1f'(ln2x)?2x?'dxf(ln2x)?'dxf'(ln2x)?ln2x?'dx?dy?y'dx2x解：＝＝＝
?解：
1?1x(x?1?x)dx?2?1?1(x?x1?x)dx?122?1?1xdx??x1?x2dx?121
x1?x2是奇函数（奇?偶＝奇），故??1x1?x2dx?0；
-可编辑修改-
精选
??1而x是偶函数，故
21x2dx?2?x2dx?012312x?303 d18．dx
????0xt2e?tdt??2?x?xe__________。 _______
f(ln3x)dx??F?ln3x??C?F(x)?f(x)x13．设，则 。
11??ln3x???dx??ln3x??dx?dln3xxx
d解：dx0xt2e?tdt???ddx??x0t2e?tdt???x2e?x
解：
1f(ln3x)dx??f?ln3x?dln3x?F?ln3x??C?x
122Fx?1??C?xf(x?1)dx??F(x)?f(x)14．已知，则? 2 。
解
：
219．设
F(x)??e?sintdt0xF?()?2 e?1 。 ，则
?F??x??解：
??ex0?sintdt?e???sinx???sin2??F????e?e?1?2?
??x(?12?????????C? 。
f
15．设F(x)为f(x)的原函数，那么分析：F(x)为f(x)的原函数?解：
?f(sinx)cosxdx? F?sinx??d02costdt2?xdx20．= ?cosx 。
121??d0dx222costdtcostdt2??x0dxdx解：＝－＝?cosx
二．选择题
1． 下列函数中（ B ）的图像关于坐标原点对称。
xA．lnx B． xcosx C．xsinx D． a
x)?f?u?du?F?u??C，cosxdx?dsinx
?f(sinx)cosxdx??f?sinx?dsinx?F?sinx??C
?16．设f(x)的一个原函数是sinx, 则f(x)? ?sinx 。
?sinx?''＝?cosx?'＝?解：f(x)的一个原函数为F(x)?f(x)＝F'(x)?f(x)??sinx
17．
规律：（1）1．奇偶函数定义：
F(x)??tcos2tdtx0f??x???f?x?,f?x?是奇函数;f??x??f?x?，f?x?是偶函数?，那么F(x)? ?xcos2x 。
；
解：
??xaf?t?dt?f?x??F?(x)???tcos2tdt??xcos2x0???x??（2）．常见的偶函数：
-可编辑修改-
x,x,...,x,cosx,x,常数2423
精选
1?x1?xx,x,x,...,x,sinx,lnx?x?1,ln,ln1?x1?x 常见的奇函数：
352xx?x?xa,e,a,e,lnx； 常见的非奇非偶函数：
13??ex?1x3?11lim?0lim3?x??3x?1xx?03 A． B．
sinx1?1lim(1?)x?exC. x??x D． x?0
limex?1xlim?lim?1xxe?1xx?0x?0xx?0解：A错。∵，～∴；
B正确。分子分母最高次幂前的系数之比；
（3）．奇偶函数运算性质：
奇±奇=奇；奇±偶=非；偶±偶=偶；奇×奇=偶；奇×偶=奇；偶×偶=偶； （4）．奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于y轴对称。
解：A．非奇非偶； B．奇×偶=奇（原点）； C．奇×奇=偶（y轴）； D．非奇非偶
2．下列函数中（ B ）不是奇函数。
11sinx?0lim?0sinx?1x??xC错。∵x??，x即x是无穷小，即sinx是有界变量，∴；
11xlim(1?)?elim(1?x)x?e?xD错。第二个重要极限应为x??或x?0，其类型为1。
A．e?e； B．sin(x?1)； C．sinxcosx； D．
x?xlnx?x2?1??
5．当x??1时，（ D ）为无穷小量。
解：A．奇函数（定义）； B．非奇非偶（定义）；C．奇函数（奇×偶）；D．奇函数（定义）
3．下列函数中，其图像关于y轴对称的是（ A ）。
x?11sin2
x?1 C．cos(x?1) D． ln(x?2) A．x?1 B．
0x?1011lim2lim??0解：A． x??1x?1x??12x＝2；
11??limsinx?1不存在； B．x??1，x?1?0，x?1， x??1C．x??1，cos(x?1)?cos0?1； D．x??1，ln(x?2)?ln1?0。 6. 下列等式中，成立的是（ B ）。
-可编辑修改-
2sin(x?1) B．excosx C． A．
ln1?x1?x D．cos(x?1)
解：A．偶函数（y轴）； B．非奇非偶（定义）；C．奇函数（常见）；D．非奇非偶（定义）
4．下列极限正确的是（ B ）。
精选
1?3xedx??de?2x?2xedx??2de3A． B．
?3x21dx?dxdx?dln3xx3xC． D．
解：A．错，正确的应为?2e?2x010f(x)?f(3)lnx?ln31lim?limlimx?x?3x?31x?3x?33 解二： x?39．设f(x)?sinx，则x?0limdx?de?2x B。 正确，?3e?3xdx?de?3x即
f(x)?x（ B ）。
1e?3xdx??de?3x3
1C．错，正确的应为2xA． 0 ； B． 1 ； C．2 ； D． 不存在
dx?dx1d3x?dln3x3x D．错，正确的应为
解一:limx?0f?x?sinx?lim?1x?0xx
x?0f?(x0)?0x?x07．设f(x)在点可微，且，则下列结论成立的是（ C ）。
A． C．
f?x?sinx?0解二:lim?lim??sinx??x?0x?0xx?0??cosx?x?0?1
x?x0x?x0f(x)是f(x)的极小值点 B． 是的极大值点 ； 32y?x?3x?9x?1在区间(1,3)内是（ A ）。 10．曲线
x?x0x?x0f(x)是f(x)的驻点； D． 是的最大值点；
A．下降且凹 B．上升且凹 C．下降且凸 D． 上升且凸 解：
f?(x0)?0x?x0x?x0f(x)解：驻点定义：设f(x)在点可微，且，则是的驻点。
驻点为可能的极值点。
y??3x2?6x?9?3?x2?2x?3??3?x?3??x?1?,在1?x?3任取一点x,带入可知y??0，曲线下降y???6x－6，在1?x?3中任取一点x,带入可知y???0，曲线是凹的
xy?e?x在(0,??)内是（ B ）。 11．曲线
f(x)?f(3)lim?x?3f(x)?lnxx?38．．函数，则 （ D ）。 11A． 3 ； B．ln3 ； C． x ； D．3 f(x)?f(3)f'?3??f'?x???lnx?'?1lim?x?3x?3xx?3x?3解一：
?x?313A． 下降且凹； B．上升且凹； C．下降且凸； D．上升且凸
解：
-可编辑修改-
精选
y'??ex?x?'?ex?1当x?0时，y'?0，曲线上升y''?ex当x?0时，y''?0，曲线是凹的
12．曲线y?2x在点M(1,2)处的法线方程为（ B ）。
解：
df(x)?dcosx?cosx'dx??sinx????x'dx??sinxdx2x
15．当函数f(x)不恒为0，a,b为常数时，下列等式不成立的是（ B ）。
dbf(x)dx?f(x)?(?f(x)dx)??f(x)aA. B. dx
C.
1y?1?(x?2)2A.y?2?(x?1)；B.y?2??(x?1)；C．y?2??2(x?1)D.
?f?(x)dx?bdf(x)?c D. a?f(x)?f(b)?f(a)
规律：曲线
y?f?x?在x=
x0y?f?x0???处的法线方程为
1?x?x0?f??x0?解：
A. 成立，
(?f(x)dx)??f(x)ba为不定积分的性质；
11f'?1??f'?x??2x'?y?f?x??2xxx，解：，???1x?1B. 不成立，?
f(x)dx?常数，而常数的导数为零；
故法线方程为B．y?2??(x?1)； 13．下列结论中正确的是（ C ）。
A．函数的驻点一定是极值点 B．函数的极值点一定是驻点 C．函数一阶导数为0的点一定是驻点 D．函数的极值点处导数必为0
f?(x)dx?f(x)?c?C. 成立，为不定积分的性质；
D. 成立，
?badf(x)?f(b)?f(a)为牛顿－莱布尼兹公式。
11f()dx?2?f(x)F(x)x16．设函数的原函数为，则x（ A ）。
111?F()?CF()?Cf()?CxxxA． ； B．F(x)?C； C．； D． 11dx?d2f?u?du?F?u??Cx 解：函数f(x)的原函数为F(x)??，x?1?1?11??f()??2dx????f()dx??x2xx?x??1?1?1?f??d??F???C?x?x?x?
f?(x0)?0x?x0x?x0f(x)解：驻点定义：设f(x)在点可微，且，则是的驻点。
驻点为可能的极值点。 14．设函数
f(x)?cosx，则df(x)?（ A ）。
?sinxsinxsinxsinxdx?dxdxdxxxA．2x； B．2x； C．； D． 17．下列无穷积分为收敛的是（ B ）。
-可编辑修改-
精选
A.
???0??1?x1dxedxsinxdxedx????21?x B. ?? C. D.
02x0ex?1?xlimx?0xln(x?1)ln?1?x?xex?1x3、求极限解：∵x?0，～，～
规律：⑴
???a??1,发散1dx(??0)x???1,收敛 ⑵
?0??e?pxdx,p?0,收敛p?0,发散
?⑶
??asinxdx??0?、
??acosxdx发散 ⑷
???0xne?pxdx,n?Np?0,发散p?0,收敛ex?1?xlim∴原题＝x?0x?x
4、求极限
?elimx?0x?1?x???x??2ex?1lim=x?02xex1limx?02＝2
limx?0解：A.发散
?sinxdx；B.p??2?0，收敛； C.p?1?0，发散； D.
??1?12，
sin3x1?4x?1解：∵x?0，sin3x～3x，1?4x?1～?2x
3x3?∴原题＝x?0?2x＝2
limln(1?3x2)lim2x?0xsin2xln(1?3x)～?3x2，sin2x～2x x?05、求极限解：∵，
18．下列无穷积分为收敛的是（ C ）。
?A.
??1xdx2 B.
???11dxx C.
???1xdx?2
?D.
??1edxx2
?3x23lim?∴原题＝x?0x?2x＝2
解：A. 发散；B. 发散；C. 收敛；D. 发散； 三．计算题
esin2x?1lim6、求极限x?0tan4x
2x?4x?1?lim??x??4x?1??1、求极限
1?2x?4x?lim??x??4x?3?? 2、求极限
解：∵x?0，esin2x?1～sin2x～2x，tan4x～4x
4x?14x?1?2?24x4x?3?3?3??1???1?4x?14x?1 解：∵4x?34x?34x?3 解：∵4x?1?2?1?2x??3?2x3lim＝1lim＝-x??4x?12 x??4x?3∴原题＝e ∴原题＝e
?322x1∴原题＝x?04x＝2
lim3y?xln(2?x)，求dy 7、设函数
123?3xln(2?x)?x??2?x?'y'??x?'ln(2?x)?x?ln?2?x??'??2?x解：
33x3?3xln(2?x)?2?x
2-可编辑修改-
精选
dy????3x2ln(2?x)?x3?2?x??dx
8、设函数
y?x?ecosx?2x?，求dy。
3cosx解：y?xe?2x2
y'??xecosx?'??3?2x2???'1??ecosx?x?ecosx?1'?3x2?ecosx?xecosx?cosx?'?3x21?ecosx?xsinxecosx?3x2
1dy???ecosx?xsinxecosx?3x2???dx?
9、设函数y?cos(ln2x)?ex2?1?e2，求dy。
2?1解：
y???cosln2x?ex?e2??
??cosln2x????ex2?1????e2??
??sinln2x?ln2x???ex2?1?x2?1???0
???sinln2x?1?2x???ex2?12x?2x??sinlnx
?2xex2?1x
dy?????sinln2xx?2xex2?1???dx
?e3xy10、设函数
2?x，求dy。 解：y????e3x???e3x???2?x??e3x?2?x??e3x?3x???2?x??e3x??1?2?x?????2?x?2??2?x?2
?3e3x?2?x??e3x?2?x?2
dy?3e3x?2?x??e3x?2?x?2dx
y?sin3x11、设函数
cosx?1，求dy。
y????sin3x???sin3x???1?cosx??sin3x?1?cosx??解：
?1?cosx????1?cosx?2
?cos3x?3x???1?cosx??sin3x??sinx??1?cosx?2
?3cos3x?1?cosx??sin3xsinx?1?cosx?2
dy?3cos3x?1?cosx??sin3xsinx?1?cosx?2dx
x2sinxdx12、计算不定积分
?2 解:x2 2x 2 0
+ — +
-可编辑修改-
精选
sin
xxxx?2cossincos2 2 ?42 82
xxxx22xsindx?2xcos?8xsin?16cos?C?2222 ＝
13、计算不定积分 ＋ —
S'＝
2?r?483r?? r2，令S'＝0，得唯一驻点
34?xe?3xdx所以当底半径为?米，此时高为?米时表面积最小即材料最省。
解：x 1 0
341?3x1?3x?eee?3x 39
1?3x1?3x?3x?xe?e?Cxedx?9＝3
四、应用题
1、 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底
半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。
解：设圆柱体底半径为r，高为h，
2、 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
解：设圆柱体底半径为r，高为h， r 2V??rh?16则体积
?h?16?r2 h 640r
f?10?r2?20?2?rh?10?r2?且造价函数
f??20?r?令
46403r?2?0? r2，得唯一驻点23434则体积V??rh?42?h?4?r2
所以当底半径为
?米，此时高为?米时造价最低。
材料最省即表面积最小
3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何
表面积S＝?r?2?rh＝
2?r2?2?r?482?r??r2＝r
选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
-可编辑修改-
精选
解：要使建造费用最省，就是在体积不变的情况下，使圆柱体的表面积最小。 设圆柱体底半径为r，高为h，
5、在半径为8的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积最大， 该长方形的底长和高各为多少。
解：设长方形的底边长为2x，高为2y，
22228?x?y?y?64?x则 则体积V??rh?1082?h?108?r2
2则圆柱体仓库的表面积为S＝?r?2?rh＝
?r2?2?r?1082162?r??r2＝r 2S?4xy?4x64?x面积 1084216r?3?3?32?r?2??, S'＝r，令S'＝0，得唯一驻点
3?3所以当底半径为
4、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图）， ??x22?S?4?64?x???0264?x??令，得唯一驻点x?42 所以当底边长为82米，此时高为82米时面积最大。 2y?x?x与直线y?x所围的面积。 6、求由抛物线
4?米，此时高为3?34?米时表面积最小即建造费用最省。 yy?xy?x2?xx解：
为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。 解：设长方形的底边长为2x，高为y， 则8?x?y?y?2222y?x?x与直线y?x的交点为?0,0?，?2,2? 抛物线64?x 8 y 2?x??x面积A＝?202?xdx???2x?x?dx =?2022S?2xy?2x64?x面积 x x ?213?4?x?3x??0＝3 ＝?2y?2?x7、求由抛物线与直线y??x所围的面积。
2??x22?S?2?64?x???0264?x??令，得唯一驻点x?42 所以当底边长为82米，此时高为42米时面积最大。
y解：
抛物线y?2?x与直线y??x的交点为
-可编辑修改-
2y?2?x2??1,1?，?2,?2?， y??xx精选
1312??922x?x?x?2?2?x?xdx??＝?32??1＝2
面积A＝??1
2y?x8、求由抛物线与直线y?2?x所围的面积。
21312??9-22x?x?x2?x?x?2?dx??32????1＝2 面积A＝?1＝
y2-
解：
2?1,1?，??2,4?， y?x抛物线与直线y?2?x的交点为
y?2?x1213??92x?x?x???2?x?x?dx＝?23??2＝2
面积A＝??2121y?x2x
2y?6?x9、求由抛物线与直线y?x所围的面积。
yy?6?x解：
2??3,?3?,?2,2? y?6?x抛物线与直线y?x的交点为
2x1252?6?x?x?dx＝6
面积A＝??32y?x
2y?x?2与直线y?x所围的面积。 10、求由抛物线
yy?xxy?x2?2-可编辑修改-
解：
2y?x?2与直线y?x的交点为??1,?1?，?2,2?， 抛物线
2020年电大高等数学基础形成性考核手册答案必考重点精编打印版
