=??2x,0?x?1,
?0,其他.关于Yの边缘概率密度
fY(y)=??????1dx,0?y?2,?yf(x,y)dx=??2
其他.??0,y??1?,0?y?2, =? 2其他.??0,（II） 令FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}， 1） 当z?0时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?0；
2） 当0?z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z} =z?12z; 4 3) 当z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?1.
?0,z?0,?1即分布函数为： FZ(z)??z?z2,0?z?2,
?4z?2.?1,1??1?z,0?z?2,故所求の概率密度为：fZ(z)?? 2其他.??0,（23）（本题满分9分）
设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)の简单随机样本，X为样本均值，记
Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.
求：（I） Yiの方差DYi,i?1,2,?,n； （II）Y1与Ynの协方差Cov(Y1,Yn).
【分析】 先将Yi表示为相互独立の随机变量求和，再用方差の性质进行计算即可；求
Y1与Ynの协方差Cov(Y1,Yn)，本质上还是数学期望の计算，同样应注意利用数学期望の运
算性质.
【详解】 由题设，知X1,X2,?,Xn(n?2)相互独立，且
EXi?0,DXi?1(i?1,2,?,n)，EX?0.
11n（I）DYi?D(Xi?X)?D[(1?)Xi??Xj]
nnj?i121 =(1?)DXi?2nn?DXj?inj
(n?1)21n?1??(n?1)?. =
nn2n2（II） Cov(Y1,Yn)?E[(Y1?EY1)(Yn?EYn)] =E(Y1Yn)?E[(X1?X)(Xn?X)]
2 =E(X1Xn?X1X?XnX?X)
=E(X1Xn)?2E(X1X)?EX
n222 =0?E[X1??X1Xj]?DX?(EX)
nj?22 =?211???. nnn
2005考研数学一真题及答案
