2005考研数学一真题及答案
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
x2（1）曲线y? の斜渐近线方程为 _____________.
2x?1（2）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??の解为. ____________.
19?x2y2z21??{1,1,1}，则（3）设函数u(x,y,z)?1?，单位向量n?612183?u?n(1,2,3)=.________.
（4）设?是由锥面z?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成の空间区域，?是
?の整个边界の外侧，则??xdydz?ydzdx?zdxdy?____________.
?（5）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， 如果A?1，那么B? ..
（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则
P{Y?2}=____________.
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出の四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前の字母填在题后の括号内）
（7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)の一个原函数，“Mの充分必要条件是N”，\M?N\表示则必有
(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]
（9）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，
? 具有一阶导数，则必有
?2u?2u?2u?2u(A) 2??2. （B） 2?. 2?x?y?x?y?2u?2u?2u?2u?2. [ ] (C) ?2. (D) ?x?y?x?x?y?y（10）设有三元方程xy?zlny?exz?1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)の一
个邻域，在此邻域内该方程
(A) 只能确定一个具有连续偏导数の隐函数z=z(x,y).
(B) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).
(D) 可确定两个具有连续偏导数の隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).
[ ]
（11）设?1,?2是矩阵Aの两个不同の特征值，对应の特征向量分别为?1,?2，则?1，
A(?1??2)线性无关の充分必要条件是
(A) ?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]
（12）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换Aの第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为A,Bの伴随矩阵，则
(A) 交换Aの第1列与第2列得B. (B) 交换Aの第1行与第2行得B. (C) 交换Aの第1列与第2列得?B. (D) 交换Aの第1行与第2行得?B.
[ ]
（13）设二维随机变量(X,Y) の概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则
(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ ] （14）设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)の简单随机样本，X为样本均值，
**********S2为样本方差，则
(A) nX~N(0,1) (B) nS~?(n).
22
(n?1)X12(n?1)X(C) ~t(n?1) (D) n~F(1,n?1). [ ]
S?Xi2i?2三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设D?{(x,y)x?y?大整数. 计算二重积分
222,x?0,y?0}，[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2の最
22xy[1?x?y]dxdy. ??D（16）（本题满分12分） 求幂级数
?(?1)n?1(1?n?1?1)x2nの收敛区间与和函数f(x).
n(2n?1)（17）（本题满分11分）
如图，曲线Cの方程为y=f(x)，点(3,2)是它の一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处の切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
?30(x2?x)f???(x)dx.
（18）（本题满分12分）
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：
（I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；
（II）存在两个不同の点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. （19）（本题满分12分）
设函数?(y)具有连续导数，在围绕原点の任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分
??(y)dx?2xydy2x2?y4Lの值恒为同一常数.
（I）证明：对右半平面x>0内の任意分段光滑简单闭曲线C，有
??(y)dx?2xydy2x?y24C?0；
（II）求函数?(y)の表达式. （20）（本题满分9分）
222已知二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x1?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2の秩为2.
（I） 求aの值；
（II） 求正交变换x?Qy，把f(x1,x2,x3)化成标准形； （III） 求方程f(x1,x2,x3)=0の解.
（21）（本题满分9分）
?123???已知3阶矩阵Aの第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），????36k??且AB=O, 求线性方程组Ax=0の通解..
（22）（本题满分9分）
设二维随机变量(X,Y)の概率密度为
f(x,y)???1,0?x?1,0?y?2x,
其他.?0,求：（I） (X,Y)の边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II）Z?2X?Yの概率密度fZ(z). （23）（本题满分9分）
设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)の简单随机样本，X为样本均值，记
Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.
求：（I） Yiの方差DYi,i?1,2,?,n； （II）Y1与Ynの协方差Cov(Y1,Yn).
参考答案
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
x211（1）曲线y? の斜渐近线方程为 y?x?.
2x?124【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.
f(x)x21?lim2?， 【详解】 因为a=limx??x??2x?xx2 b?lim?f(x)?ax??limx???x1??，
x??2(2x?1)4于是所求斜渐近线方程为y?11x?. 241911xlnx?x.. 39（2）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??の解为y?【分析】直接套用一阶线性微分方程y??P(x)y?Q(x)の通解公式：
?P(x)dxP(x)dx[Q(x)e?dx?C]， y?e??再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】 原方程等价为
y??于是通解为 y?e=
?2y?lnx， x?xdx2?xdx2[?lnx?edx?C]?12?[xlnxdx?C] 2?x111xlnx?x?C2， 39x111由y(1)??得C=0，故所求解为y?xlnx?x.
939?x2y2z21??{1,1,1}，则（3）设函数u(x,y,z)?1?，单位向量n?612183?u?n(1,2,3)=
3. 3【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量n?{cos?,cos?,cos?}の方向导数为：
?
?u?u?u?u?cos??cos??cos? ?n?x?y?z因此，本题直接用上述公式即可.
【详解】 因为
?ux?uy?uz?，?，?，于是所求方向导数为
?x3?y6?z9
?u?n(1,2,3)=
1111113??????. 3333333x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成の空间区域，?是
23)R. 2（4）设?是由锥面z??の整个边界の外侧，则??xdydz?ydzdx?zdxdy?2?(1??【分析】本题?是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.
【详解】
??xdydz?ydzdx?zdxdy????3dxdydz
?? =3?R?200?d??4sin?d??d??2?(1?02?23)R. 2（5）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
2005考研数学一真题及答案
