自主招生能力测试数学试题(纯word版,含详细答案)
高水平大学自主选拔学业能力测试
数学与逻辑（华约）
一、（本小题满分10分）
x1,x2,x3,x4,x5为五个正整数，任取四个其和组成的集合为?44,45,46,47?，求x（…，2，ii?1，
． 5）
【解析】记S??xi?15i，若x1,x2,x3,x4,x5两两不等，那么对?i,j??1,2,3,4,5??i?j?都有
S?xi?S?xj，这样x1,x2,x3,x4,x5任取四个数求和一共有5个不同的值，这与条件矛盾。于是
x1,x2,x3,x4,x5中必有两个数相等，据对称性，不妨设x1?x2?a，x3?b，x4?c，x5?d，则
问
题
变
为
对
正
整
数
a,b,c,d，集合
?a?b?c?d,2a?b?c,2a?b?d,2a?c?d???44,45,46,47?，注意到集合元素的表达形式关
于a对称，于是据对称性，只需要讨论a在序列a,b,c,d中的大小。
?a?b?c?d?47?2a?b?c?44?情形一：a?b?c?d，这时候由集合的对应原则得?，于是得到4a?41，矛盾。
?2a?b?d?45??2a?c?d?46?a?11?b?10?情形二：b?a?c?d，同情形一的证明可得?。
?c?12??d?13情形三：b?c?a?d，同情形一亦有4b?39，矛盾。
情形四：b?c?d?a，同情形一亦有4b?38，矛盾。
综上所述，x1,x2,x3,x4,x5的值为x1?x2?11,x3?10,x4?12,x5?13及其轮换。 二、（本小题满分15分）
乒乓球比赛，甲胜的概率是p(p?)，若采用五局三胜制，甲获胜的概率是q，求p为多少时，p?q取得最大值．
【解析】设比赛用了?局，
当甲用3局取胜，则q???3??p；
312当甲用4局取胜，则q???4??C3p?1?p? 13 自主招生能力测试数学试题(纯word版,含详细答案)
23当甲用5局取胜，则q???5??C4p?1?p?。
2于是q?p?3p?1?p??6p?1?p??p10?15p?6p33332?2令f?p??q?p，由q的表达式，?，
我们有f?p??6p?15p?10p?p，则
543f'?p???30p?30p2?1??30p?30p2?1，又因为
?1?p?1， 21?1?故
30p?30p2?1?1?0，因此我们得到f?p?的极大值点为p0?4302，所以
f?p??f?p0??3?30303?30301?4，即当p?301?1?2430时，q?p取最大值
1?4。 30三、（本小题满分15分）
f?1(x)是f(x)的反函数，定义：(fg)(x)?f(g(x))．
（Ⅰ）求证：(fg)(x)?(f?1g?1)(x)；
?1（Ⅱ）F(x)?f(?x)，G(x)?f(?x)，若F(x)?G?1(x)，求证：f(x)为奇函数．
?1【解析】证明：我们的证明用到反函数这样的性质：y?f（1）由上述性质知y??f?x??x?f?y?
g??1?x??x?f?g?y??（视g?y?为一个整体）
?f?1?x??g?y?（视f?1?x?为整体）?g?1?f?1?x????g?1f?1??x??y，所以
?fg??1?x???g?1f?1??x?成立。
?1（2）由性质知y?G?x??f??x??G?y??f?1??y??x??y?f?x?
?y??f?x??G?1?x?，又由题设知F?x??G?1?x?，于是f??x???f?x?，即f是奇函数，
成立。
四、（本小题满分15分）
函数f(x)?2?1(cosx?sinx)sin(x?)?2asinx?b?的最大值为1，最小值为?4，求a，b． 242 自主招生能力测试数学试题(纯word版,含详细答案)
11?cosx?sinx??cosx?sinx??2asinx?b??sin2x?2asinx?b?，记221t?sinx，则t???1,1?，令g?t???t2?2at?b?，则由题意知g?t?max?1,g?t?min??4。
211若a??0,1?，那么g?t?max?g??a??a2?b??1，故a2?b?①，再由二次函数的性质，
2217②。 g?t?min?min?g?1?,g?0????2a?b???4，故2a?b?22【解析】f?x??①+②得a2?2a?4，解出a?5?1?1，这与a??0,1?矛盾。
下设a??1,???，再由二次函数性质可知g?t?max?g??1??2a?b?1?1，2g?t?min5?1?a??g?1???2a?b???4，由此解出?4
2??b??1?5?,?1?。 ?4?综上，所求的?a,b???五、（本小题满分15分）
x2y2222已知椭圆2?2?1与圆x?y?b，过椭圆上一点P作圆的两条切线，切点弦所在直线与x轴，
aby轴分别交于点E，F，求?EOF面积的最小值．
【解析】首先我们推导解析几何中一个性质：平面上有圆O:x?y?r，圆外有点P?x0,y0?，
222过P做圆O的切线，切点为A?x1,y1?,B?x2,y2?，那么由圆上点的切线公式，，我们有P在直线
22???xx1?yy1?r?x0x1?yy1?r的交点上，于是有?，所以据方程组及两点确定一条直线，我们有?22???xx2?yy2?r?x0x2?yy2?rA,B在直线xx0?yy0?r2上。
回到本题，因为M在椭圆上，可设M?acos?,bsin??，由上述性质我们有直线PQ的方程为
?b2??b?acos?x?bsin?y?b，于是我们得到E?,0?,F?0,?，所以
?acos???sin??2EOF的面积
b3b3b3S??，所以EOF的面积最小值为。
aasin2?a六、（本小题满分15分）
n已知数列?an?满足：a1?0，an?1?np?qan． 自主招生能力测试数学试题(纯word版,含详细答案)
（Ⅰ）若p?1，求an；
（Ⅱ）若p?1，q?1，求证：数列?an?有界． 【解析】若p?1，则an?an?1??n?1??若p?1，则an?an?1??n?1?pn?1?a1??n?1??n?n?1??1?，
2??a1??n?1?pn?1??1p1，即
an??n?1?pn?1?得ann则pan??n?1?p??1p1 ①，
由错位相减法的知识，②-①?1p2 ②，
n?1?pn???p?1pn?p?p?1?2。
?n?n?1?,?2?综上，an??n?1?pnpn?p???,2?p?1?p?1???p?1?。
?p?1?（2）为表述方便，记t?p??0,1?，注意到an?1?npn?qan?npn?qan?ntn?an依次递推就有an??n?1?tn?1?an?1?2??n?1?tn?1??1t1?a1利用（1）的计算我们得到
ann?1?tn???t?1tn?t?t?1??。
注意到，
t?tnt?t?1?2?t?1?2?A（其中A是一个常数），下面证明数列??n?1?tn?有最大项。记
bn??n?1?tn，则
N0?bn?1n?n??n??t。注意到数列?lim单调递减，且????1，所以存在n??bnn?1?n?1??n?1?使得对n?N0，
n1?成立，于是bn在n?N0时单调递减，于是数列??n?1?tn?有最n?1tn?1?tn?，那么
t?1?bk。 ?B（其中B是一个常数）
t?1大项，我们设最大项为bk所以ann?1?tn???t?1tn?t?t?1?2??n?1?tnt?i?A?B是常数，所以?an?是有界数列。
七、（本小题满分15分）
已知n?N，x?n，求证：n?n(1?)nex?x2．
?xn?x?【证明】记f?x??x2?n?1??ex?n ?n?n 自主招生能力测试数学试题(纯word版,含详细答案)
?x??x?那么f'?x??2x?n?1??ex?n?1???n??n?nn?1n?1??x??xx我们证明，对x????,n?e?x?2??1??e?，
??n?????x?及n?2,2??1???n?n?1ex?0。
n?1?x?令g?x??2??1???n??x?e，所以g'?x????1???n?xn?1n?1?x?e??1??n?n?xn?2?x?1??x?e????1???n??n?xn?1n?2 ex，
?1?所以x????,n?时，x0?1是g?x?的极小值点，所以g?x??g?1??2??1???n??x?2??1???n?n?1e，故要证
?1?e?0，只需要证明2??1???n?xnn?1e?0对n?2成立。由e的定义，我们有
n?1?n??n??1?且对成立，于是n?2lim??e?e????1??n???n?1???n?1??n?n?n?1?e????n?n?1e?1ne，而
en?11ne?2就等价于n?2，所以n?2时结论成立，据此结论f的极小值点是x1?0，所以
en?1f?x??f?0??0。
当n?1时，f'?x??2x?xe，故ln2为f的极大值点，所以f?x??minf?0?,f?1??0。
x??综上，对所有n?
?，原不等式均成立。
2019年华约自主招生能力测试数学试题(纯word版,含详细答案)
