角速度与线速度
一、基础知识回顾
1．请写出匀速圆周运动定义，特点，条件.
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2．试写出线速度、角速度、周期、频率，转数之间的关系
v?s2?r?2?1??； ??； T?； v=ωr； 转数（转/秒）n=f tTtTf二、例题精讲
【例题1】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，皮带不打滑，则. ( )
A．a点与b点的线速度大小相等 C．a点与c点的线速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等 D．a点与d点的向心加速度大小相等
因为右轮和左侧小轮靠皮带传动而不打滑，所以va=vc，选项C正确. b、c、d绕同一轴转动，因此ωb=ωc=ωd. ωa=
vavc?=2ωc 选项B错误. rr22a0vc2va(?d?4r)2vc2vcvavb??br??cr?? 选项A错误. aa???? ad?
22rr4r4rr∴ad = aa ∴正确答案为C、D
【例题2】 如图2所示，一个圆环，以竖直直径AB为轴匀速转动，如图所示，则环上M、N两点的线速度的大小之比vＭ∶vN＝ ；角速度之比ωＭ∶ωN＝ ；周期之比TＭ∶TN＝ .
图2
图 3
1
【例题3】 如图3所示，转轴O1上固定有两个半径分别为R和r的轮，用皮带传动O2轮，O2的轮半径是r′，若O1每秒钟转了5圈，R＝1 ｍ，r＝r′＝0.5 ｍ，则：
①大轮转动的角速度ω＝ rad/s；
②图中A、C两点的线速度分别是vA＝ m/s，vC＝ m/s。
参考答案：(1) CD （2）3∶1 1∶1 1∶1 （3）①31．4 ②15．7 31．4 三、课堂练习
1．对于做匀速圆周运动的物体，下面说法正确的是 ( )
A．相等的时间里通过的路程相等 C．相等的时间里发生的位移相同
B．相等的时间里通过的弧长相等 D．相等的时间里转过的角度相等
2．做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是 ( )
A．速度
B．速率
C．角速度
D．周期
3．关于角速度和线速度，说法正确的是 ( )
A．半径一定，角速度与线速度成反比 C．线速度一定，角速度与半径成正比
B．半径一定，角速度与线速度成正比 D．角速度一定，线速度与半径成反比
4．如图3所示，地球绕OO′轴自转，则下列正确的是 ( )
A．A、B两点的角速度相等 B．A、B两点线速度相等 C．A、B两点的转动半径相同 D．A、B两点的转动周期相同
图3
5．做匀速圆周运动的物体，10 ｓ内沿半径是20 ｍ的圆周运动了100 ｍ，则其线速度大小 是 m/s，周期是 ｓ，角速度是 rad/s。
6．A、B两质点分别做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的弧长之比ｓA∶ｓB＝2∶3， 而转过的角度之比φA∶φB＝3∶2，则它们的周期之比ＴA∶ＴB＝ ；角速度之比 ωA∶ωB＝ ；线速度之比ｖA∶ｖB＝ ，半径之比ＲA∶ＲB＝ .
参考答案：
1.ABD 2.BCD 3.B 4.AD 5. 10 12.56 0.5 6. 2∶3 3∶2 2∶3 4∶9
向心加速度与力的关系
1向心加速度a：
v24?22??r?2r?4?2 f 2r （1）大小：a =rT
2
（2）方向：总指向圆心，时刻变化
（3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。 2．向心力
v24?22?m?R?m2R?m4?2f2R （1）大小：F?ma向?mRT（2）方向：总指向圆心，时刻变化
做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变。
(3)．处理方法：
一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。
【例1】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，
在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？
【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最高点时，水就不会流下来。 【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律
【例2】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则 ( )
A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大 B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小 C．当转台转速增加时，C最先发生滑动 D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动
【分析】A、 B、 C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω．根据向心加速度的公式an=ω2r，已知rA=rB＜rC，所以三物体向心加速度的大小关系为aA=aB＜aC．
A错．三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f =Fn=mω2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为
3
fA=mAω2rA=2mω2r， fB=mBω2rB=mω2r，
fC=mcω2rc =mω2·2r=2mω2r．
即物体B所受静摩擦力最小．B正确．
由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为μ，静摩擦力的最大值可认为是fm=μmg．由fm=Fn，即
得不发生滑动的最大角速度为
即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小．
由于rC＞rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动．转速继续增加时，物体A、B将同时发生滑动．C正确，D错． 【答】B、C．
1、如图5所示，杆长为l，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大
1小为F?mg，求这时小球的瞬时速度大小。
2
2、如图所示，一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求： （1）当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？
3、如图所示，质量m＝1 kg的小球用细线拴住，线长l＝0.5 m，细线所受拉力达到F＝18 N时就会被拉断。当小球从图示位置释放后摆到悬点的正下方时，细线恰好被拉断。若此时小球距水平地面的高度h＝5 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球落地处到地面上Ｐ点的距离？（P点在悬点的正下方）
1、弹力向上：
拉力是 多少？（g=10m/s2）
gR 弹力向下：
23gR2 2. 15N、45N 3、2m
4
角速度与线速度、向心加速度与力的关系(含答案)
