(浙江专用)高考数学大二轮复习专题一小题考法课三三角恒等
变换与解三角形课时跟踪检测
[课时跟踪检测] [A级——基础小题提速练]
一、选择题
1.(2019·浙江教育绿色评价联盟)在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,角α,β的终边分别与单位圆交于点?
36
A.-
653C.-
13
?12,5?和?-3,4?,则sin(α+β)=( )
????1313??55?
B.D.48 6533 65
解析:选D 因为角α,β的终边分别与单位圆交于点?
?12,5?和?-3,4?,所以sin
α????1313??55?
51243
=,cos α=,sin β=,cos β=-,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin 1313555?3?12433β=×?-?+×=.
13?5?13565
1
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin
2
C,则sin B=( )
A.C.7 47 3
3B. 41D. 3
1122
解析:选A 由bsin B-asin A=asin C,得b-a=ac,∵c=2a,∴b=2a,∴cos
22
a2+c2-b2a2+4a2-2a23
B===,则sin B= 2
2ac4a4
7?3?2
1-??=. ?4?4
3.在△ABC中,若tan Atan B>1,则△ABC是( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.无法确定
解析:选A 因为A和B都为三角形中的内角, 由tan Atan B>1,得1-tan Atan B<0, 且tan A>0,tan B>0,即A,B为锐角,
tan A+tan B所以tan(A+B)=<0,
1-tan Atan B?π?则A+B∈?,π?,即C为锐角, ?2?
所以△ABC是锐角三角形.
3?π?4.已知sin β=?<β<π?,且sin(α+β)=cos α,则tan(α+β)=( )
5?2?A.-2 1
C.-
2
B.2 1D. 2
3π
解析:选A ∵sin β=,且<β<π,
5243
∴cos β=-,tan β=-.
54
1
∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos α,∴tan α=-,
2tan α+tan β∴tan(α+β)==-2.
1-tan α·tan β5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2asin A=(2sin B+sin C)b+(2c+b)sin C,则A=( )
A.60° C.30°
B.120° D.150°
2
2
2
2
解析:选B 由已知,根据正弦定理得2a=(2b+c)b+(2c+b)c,即a=b+c+bc.由1222
余弦定理a=b+c-2bccos A,得cos A=-,又A为三角形的内角,故A=120°.
2
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,c=22,且C=则△ABC的面积为( )
A.2+1 C.2
解析:选B 由正弦定理
B.3+1 D.5
π,4
bsin Bsin C=c,得sin B=
bsin C1
=,又c>b,且B∈(0,π),c2
π7π117π1
所以B=,所以A=,所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×22sin=×2×22
61222122×
6+2
=3+1. 4
7.(2019·杭州四中高考仿真)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B
3
=30°,△ABC的面积为.且sin A+sin C=2sin B,则b的值为( )
2
A.4+23 C.3-1
B.4-23 D.3+1
113
解析:选D 由题意得△ABC的面积为acsin B=acsin 30°=,解得ac=6,又由sin
222
A+sin C=2sin B结合正弦定理得a+c=2b,则由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-3ac=4b2-12-63,解得b=3+1,故选D.
8.在△ABC中,A=60°,BC=10,D是AB边上不同于A,B的任意一点,CD=2,△
BCD的面积为1,则AC的长为( )
A.23 C.3
3
B.3 D.23
3
15
解析:选D 由S△BCD=1,可得×CD×BC×sin∠DCB=1,即sin∠DCB=,所以cos∠
25
DCB=
2525
或cos∠DCB=-,又∠DCB<∠ACB=180°-A-B=120°-B<120°,所以cos55
2
2
2
125CD+BC-BD25
∠DCB>-,所以cos∠DCB=.在△BCD中,cos∠DCB==,解得BD=2,
252CD·BC5
BD2+BC2-CD231010
所以cos∠DBC==,所以sin∠DBC=.在△ABC中,由正弦定理可得AC2BD·BC1010
=
BCsin B23
=,故选D. sin A3
9.在△ABC中,若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是( )
?π?A.?0,?
6??
C.?
?π?B.?0,?
2??
D.?
?π,π?
??62??π,π?
??62?
解析:选A 因为c=AB=1,a=BC=2,b=AC.根据两边之和大于第三边,两边之差小1113
于第三边可知1
2ab4b4b4b?2b1?333π
=?-b?+≥.所以0 10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(B+A)+sin(B-A)=2sin 2A,π 且c=6,C=,则△ABC的面积是( ) 3 A.3 C.3或1 B.33 D.3或33 π2π2π 解析:选A ∵在△ABC中,C=,∴B=-A,B-A=-2A,∵sin(B+A)+sin(B333-A)=2sin 2A,∴sin C+sin? ?2π-2A?=2sin 2A,即sin C+3cos 2A+1sin 2A=2sin 2A,?22?3? π?π?13???2π?∴2A-π=π或5π,整理得3sin?2A-?=sin C=,∴sin?2A-?=.又A∈?0,?, 6?6?23?2666???ππππc61 解得A=或.当A=时,B=,tan C===3,解得a=2,∴S△ABC=acsin B6262aa2ππc61 =3;当A=时,B=,tan C===3,解得b=2,∴S△ABC=bc=3.综上,△ 26bb2 ABC的面积是3. 二、填空题 11.(2019·浙江教育绿色评价联盟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2π222 若a+c-b+2bccos A-2c=0,ccos A=b(1-cos C),且C=,则c=________;△ABC3的面积S=________. 解析:因为a+c-b+2bccos A-2c=0,由余弦定理,得a+c-b+(b+c-a)=2c,2π3 解得c=1.又ccos A=b(1-cos C),且C=,则由正弦定理,得sin Ccos A=sin B, 32即cos A=3sin? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?π-A?,故cos A=3sin A,因为0<A<π,所以A=π,因此,△ABC?6?3? 133 为等腰三角形,面积为S=××1=. 2612 答案:1 3 12 π?π?72, 12.在三角形ABC中,sin?A+?=0<A<,AC=5,AB=3,则sin A的值为______, 4?104? BC的长为______. ππππ2?π?72,?π?解析:因为0<A<,所以<A+<.因为sin?A+?=所以cos?A+?=,4?104?104442?? ??π?π??π?π?π?π72×2-2×2 所以sin A=sin??A+?-?=sin?A+?cos-cos?A+?sin= 4?4?4?4?44102102???? 34222 =.所以cos A=.所以BC=AC+AB-2AC·AB·cos A=25+9-24=10,所以BC=10. 55 3答案: 5 10 13.(2017·浙江高考)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是________,cos∠BDC=________. AB2+BC2-AC242+22-42 解析:在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,由余弦定理得cos∠ABC==2AB·BC2×4×2 1 =, 4 则sin∠ABC=sin∠CBD=15, 4 111515 所以S△BDC=BD·BCsin∠CBD=×2×2×=. 22421 因为BD=BC=2,所以∠CDB=∠ABC, 2则cos∠CDB= 答案: 15 2 10 4 cos∠ABC+110 =. 24 14.在△ABC中,AD为边BC上的中线,AB=1,AD=5,∠ABC=45°,则sin∠ADC=________, AC=________. 解析:在△ABD中,由正弦定理,得=,所以sin∠ADB=×sin∠ABCsin∠ABCsin∠ADBAD12 =×sin 45°=, 510 所以sin∠ADC=sin(180°-∠ADB)=sin∠ADB=由余弦定理, 得AD=AB+BD-2AB·BDcos∠ABD, 所以5=1+BD-2BDcos45°,得BD=42, 因为AD为△ABC的边BC上的中线, 所以BC=2BD=82. 在△ABC中,由余弦定理,得AC=AB+BC-2AB·BCcos∠ABC=1+(82)-2×1×82×cos 45°=113,所以AC=113. 答案: 2 10 113 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ADABAB2. 10 π 15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,b=6,△ABC的 4
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