（浙江专用）高考数学大二轮复习专题一小题考法课三三角恒等
变换与解三角形课时跟踪检测
[课时跟踪检测] [A级——基础小题提速练]
一、选择题
1．(2019·浙江教育绿色评价联盟)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点?
36
A．－
653C．－
13
?12，5?和?－3，4?，则sin(α＋β)＝( )
????1313??55?
B.D.48 6533 65
解析：选D 因为角α，β的终边分别与单位圆交于点?
?12，5?和?－3，4?，所以sin
α????1313??55?
51243
＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin 1313555?3?12433β＝×?－?＋×＝.
13?5?13565
1
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin
2
C，则sin B＝( )
A.C.7 47 3
3B. 41D. 3
1122
解析：选A 由bsin B－asin A＝asin C，得b－a＝ac，∵c＝2a，∴b＝2a，∴cos
22
a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23
B＝＝＝，则sin B＝ 2
2ac4a4
7?3?2
1－??＝. ?4?4
3．在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．无法确定
解析：选A 因为A和B都为三角形中的内角， 由tan Atan B>1，得1－tan Atan B<0， 且tan A>0，tan B>0，即A，B为锐角，
tan A＋tan B所以tan(A＋B)＝<0，
1－tan Atan B?π?则A＋B∈?，π?，即C为锐角， ?2?
所以△ABC是锐角三角形．
3?π?4．已知sin β＝?<β<π?，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )
5?2?A．－2 1
C．－
2
B．2 1D. 2
3π
解析：选A ∵sin β＝，且<β<π，
5243
∴cos β＝－，tan β＝－.
54
1
∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α，∴tan α＝－，
2tan α＋tan β∴tan(α＋β)＝＝－2.
1－tan α·tan β5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)sin C，则A＝( )
A．60° C．30°
B．120° D．150°
2
2
2
2
解析：选B 由已知，根据正弦定理得2a＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a＝b＋c＋bc.由1222
余弦定理a＝b＋c－2bccos A，得cos A＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°.
2
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝22，且C＝则△ABC的面积为( )
A.2＋1 C．2
解析：选B 由正弦定理
B.3＋1 D.5
π，4
bsin Bsin C＝c，得sin B＝
bsin C1
＝，又c>b，且B∈(0，π)，c2
π7π117π1
所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×22sin＝×2×22
61222122×
6＋2
＝3＋1. 4
7．(2019·杭州四中高考仿真)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B
3
＝30°，△ABC的面积为.且sin A＋sin C＝2sin B，则b的值为( )
2
A．4＋23 C.3－1
B．4－23 D.3＋1
113
解析：选D 由题意得△ABC的面积为acsin B＝acsin 30°＝，解得ac＝6，又由sin
222
A＋sin C＝2sin B结合正弦定理得a＋c＝2b，则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－3ac＝4b2－12－63，解得b＝3＋1，故选D.
8．在△ABC中，A＝60°，BC＝10，D是AB边上不同于A，B的任意一点，CD＝2，△
BCD的面积为1，则AC的长为( )
A．23 C.3
3
B.3 D.23
3
15
解析：选D 由S△BCD＝1，可得×CD×BC×sin∠DCB＝1，即sin∠DCB＝，所以cos∠
25
DCB＝
2525
或cos∠DCB＝－，又∠DCB<∠ACB＝180°－A－B＝120°－B<120°，所以cos55
2
2
2
125CD＋BC－BD25
∠DCB>－，所以cos∠DCB＝.在△BCD中，cos∠DCB＝＝，解得BD＝2，
252CD·BC5
BD2＋BC2－CD231010
所以cos∠DBC＝＝，所以sin∠DBC＝.在△ABC中，由正弦定理可得AC2BD·BC1010
＝
BCsin B23
＝，故选D. sin A3
9．在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( )
?π?A.?0，?
6??
C.?
?π?B.?0，?
2??
D.?
?π，π?
??62??π，π?
??62?
解析：选A 因为c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC.根据两边之和大于第三边，两边之差小1113
于第三边可知1 2ab4b4b4b?2b1?333π ＝?－b?＋≥.所以0 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，π 且c＝6，C＝，则△ABC的面积是( ) 3 A.3 C.3或1 B．33 D.3或33 π2π2π 解析：选A ∵在△ABC中，C＝，∴B＝－A，B－A＝－2A，∵sin(B＋A)＋sin(B333－A)＝2sin 2A，∴sin C＋sin? ?2π－2A?＝2sin 2A，即sin C＋3cos 2A＋1sin 2A＝2sin 2A，?22?3? π?π?13???2π?∴2A－π＝π或5π，整理得3sin?2A－?＝sin C＝，∴sin?2A－?＝.又A∈?0，?， 6?6?23?2666???ππππc61 解得A＝或.当A＝时，B＝，tan C＝＝＝3，解得a＝2，∴S△ABC＝acsin B6262aa2ππc61 ＝3；当A＝时，B＝，tan C＝＝＝3，解得b＝2，∴S△ABC＝bc＝3.综上，△ 26bb2 ABC的面积是3. 二、填空题 11．(2019·浙江教育绿色评价联盟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2π222 若a＋c－b＋2bccos A－2c＝0，ccos A＝b(1－cos C)，且C＝，则c＝________；△ABC3的面积S＝________. 解析：因为a＋c－b＋2bccos A－2c＝0，由余弦定理，得a＋c－b＋(b＋c－a)＝2c，2π3 解得c＝1.又ccos A＝b(1－cos C)，且C＝，则由正弦定理，得sin Ccos A＝sin B， 32即cos A＝3sin? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?π－A?，故cos A＝3sin A，因为0＜A＜π，所以A＝π，因此，△ABC?6?3? 133 为等腰三角形，面积为S＝××1＝. 2612 答案：1 3 12 π?π?72， 12．在三角形ABC中，sin?A＋?＝0＜A＜，AC＝5，AB＝3，则sin A的值为______， 4?104? BC的长为______． ππππ2?π?72，?π?解析：因为0＜A＜，所以＜A＋＜.因为sin?A＋?＝所以cos?A＋?＝，4?104?104442?? ??π?π??π?π?π?π72×2－2×2 所以sin A＝sin??A＋?－?＝sin?A＋?cos－cos?A＋?sin＝ 4?4?4?4?44102102???? 34222 ＝.所以cos A＝.所以BC＝AC＋AB－2AC·AB·cos A＝25＋9－24＝10，所以BC＝10. 55 3答案： 5 10 13．(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________. AB2＋BC2－AC242＋22－42 解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝2AB·BC2×4×2 1 ＝， 4 则sin∠ABC＝sin∠CBD＝15， 4 111515 所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝×2×2×＝. 22421 因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC， 2则cos∠CDB＝ 答案： 15 2 10 4 cos∠ABC＋110 ＝. 24 14．在△ABC中，AD为边BC上的中线，AB＝1，AD＝5，∠ABC＝45°，则sin∠ADC＝________， AC＝________. 解析：在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以sin∠ADB＝×sin∠ABCsin∠ABCsin∠ADBAD12 ＝×sin 45°＝， 510 所以sin∠ADC＝sin(180°－∠ADB)＝sin∠ADB＝由余弦定理， 得AD＝AB＋BD－2AB·BDcos∠ABD， 所以5＝1＋BD－2BDcos45°，得BD＝42， 因为AD为△ABC的边BC上的中线， 所以BC＝2BD＝82. 在△ABC中，由余弦定理，得AC＝AB＋BC－2AB·BCcos∠ABC＝1＋(82)－2×1×82×cos 45°＝113，所以AC＝113. 答案： 2 10 113 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ADABAB2. 10 π 15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，b＝6，△ABC的 4
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