导函数零点问题
一．方法综述
导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究f?x?的单调性，往往需要解方程f??x?＝0.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略
类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点
【例1】【2020·福建南平期末】已知函数f?x??x?ax?1e.
2x??（1）讨论f?x?的单调性；
（2）若函数g?x??x?1e?mx?1在??1,???有两个零点，求m的取值范围.
2x??【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为f??x???x?a?1??x?1?e，再对参数a分类讨论可得；
x（2）依题意可得g??x???x?1?ex?m，当m?0函数在定义域上单调递增，不满足条件；
当m?0时，由（1）得g??x?在??1,???为增函数，因为g??0??1?m，g?0??0.再对m?1，m>1，
20?m?1三种情况讨论可得.
【解析】（1）因为f?x??x?ax?1e，所以f??x????x??a?2?x?a?1??e，
2x??2x即f??x???x?a?1??x?1?e.
x由f??x??0，得x1???a?1?，x2??1.
①当a?0时，f??x???x?1?ex…0，当且仅当x??1时，等号成立. 故f?x?在???,???为增函数. ②当a?0时，??a?1???1，
由f′?x??0得x???a?1?或x??1，由f′?x??0得??a?1??x??1； 所以f?x?在??,??a?1?，??1,???为增函数，在??a?1?,?1为减函数.
2????
③当a?0时，??a?1???1，
由f′?x??0得x???a?1?或x??1，由f′?x??0得?1?x???a?1?； 所以f?x?在???,?1?，??a?1?,??为增函数，在?1,??a?1?为减函数. 综上，当a?0时，f?x?在为???,???增函数；
当a?0时，f?x?在??,??a?1?，??1,???为增函数，在??a?1?,?1为减函数； 当a?0时，f?x?在???,?1?，??a?1?,??为增函数，在?1,??a?1?为减函数. （2）因为g?x??x?1e?mx?1，所以g??x???x?1?ex?m，
2x2??????????????0，g?x?在??1,???为增函数，所以g?x?在??1,???至多一个零点. ①当m?0时，g??x?…②当m?0时，由（1）得g??x?在??1,???为增函数. 因为g??0??1?m，g?0??0.
（ⅰ）当m?1时，g??0??0，x?0时，g??x??0，?1?x?0时，g??x??0； 所以g?x?在??1,0?为减函数，在?0,???为增函数，g?x?min?g?0??0. 故g?x?在??1,???有且只有一个零点.
（ⅱ）当m>1时，g??0??0，g??m???m?1?em?m?0，?x0??0,m?，使得g??x0??0， 且g?x?在??1,x0?为减函数，在?x0,???为增函数.
所以g?x0??g?0??0，又g?m??m?1e?m?1?m?1?m?1?0，
2m2222????根据零点存在性定理，g?x?在?x0,m?有且只有一个零点. 又g?x?在??1,x0?上有且只有一个零点0. 故当m>1时，g?x?在??1,???有两个零点.
（ⅲ）当0?m?1时，g???1???m?0，g??0??0，?x0???1,0?，使得g??x0??0， 且g?x?在??1,x0?为减函数，在?x0,???为增函数. 因为g?x?在?x0,???有且只有一个零点0，
若g?x?在??1,???有两个零点，则g?x?在??1,x0?有且只有一个零点.
0即g??1??又g?x0??g?0??0，所以g??1?…即当1??m?1时g?x?在??1,???有两个零点. 综上，m的取值范围为1??m?1 【指点迷津】
221?， ?m?1…0，所以m…ee2e2e1.由于导函数为超越函数，无法利用解方程的方法，可以在观察方程结构的基础上大胆猜测.一般地，当所求的导函数解析式中出现lnx时，常猜x＝1；当函数解析式中出现ex时，常猜x＝0或x＝lnx. 2.例题解析中灵活应用了分离参数法、构造函数法 【举一反三】
2x2?1【2020·山西吕梁期末】已知函数f(x)??alnx(a?R).
x（1）讨论f(x)的单调性；
x（2）设g(x)?e?sinx，若h?x??g?x?f?x??2x且y?h?x?有两个零点，求a的取值范围.
??【解析】（1）f(x)的定义域为(0,??)，f(x)?2x?1?alnx， x1a2x2?ax?1f?(x)?2?2??， 2xxx对于2x2?ax?1?0，??a2?8， 当a?[?22,22]时，f?(x)?0， 则f(x)在(0,??)上是增函数. 当a?(??,?22)时，
对于x?0，有f?(x)?0，则f(x)在(0,??)上是增函数. 当a?(22,??)时，
22a?a?8a?a?8 ?令f(x)?0，得0?x?或x?，
4422a?a?8a?a?8 ?令f(x)?0，得，?x?44
导数与函数零点问题解题方法归纳
