新《推理与证明》专题解析(1)
一、选择题
1.观察下列等式:
78101112??1,????12,333333161719202223??????39,…,则当n?m且m,n?N*时,3333333n?13n?23m?23m?1??L???( ) 3333A.m2?n2 【答案】B 【解析】 【分析】
观察可得等式左边首末等距离的两项和相等,即可得出结论. 【详解】
B.m2?n2
C.m3?n3
D.m3?n3
3n?13n?23m?23m?1??L??项数为2(m?n), 3333首末等距离的两项和为
3n?13m?1??m?n, 333n?13n?23m?23m?1??L?? 3333?(m?n)?(m?n)?m2?n2,
故选:B. 【点睛】
本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和,属于中档题.
2.观察下列各式:a+b=1.a2+b2=3,a3+b3=4 ,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( ) A.28 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现,
B.76
C.123
D.199
3?4?7,4?7?11,7?11?18,
11?18?29,18?29?47, 29?47?76,47?76?123,
即a10?b10?123, 故选C.
考点:观察和归纳推理能力.
3.若数列{an}是等差数列,则数列bn?a1?a2???an也为等差数列.类比这一性质可
n知,若正项数列{cn}是等比数列,且dn也是等比数列,则dn的表达式应为( ) A.dn?B.dn?c1?c2???cn
nc1?c2???cn nnnnc1n?c2???cnC.dn? nD.dn?nc1?c2???cn 【答案】D 【解析】 【分析】
利用等差数列的求和公式,等比数列的通项公式,即可得到结论. 【详解】
解:Q数列{an}是等差数列,则a1?a2???an?na1??n?1?n2d,
?数列bn?a1?a2???ann?1?a1?d也为等差数列
n2Q正项数列{cn}是等比数列,设首项为c1,公比为q,
则c?c???c?c?cq???cqn?1?cnq12n1111?n?1?n2
n?12?d?nc?c???c?nc?cq???cqn?1?cqn12n1111?dn?nc1?c2???cn是等比数列
故选:D. 【点睛】
本题考查类比推理,解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性,由此得出类比的结论即可.
4.用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一,计数形式有纵式和横式两种,如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载:用“天元术”列方程,就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”,即是一种用数学符号列方程的方法,“立天元一为某某”,
nn?1意即“设x为某某”.如图2所示的天元式表示方程a0x?a1x?????an?1x?an?0,其中
a0,a1,…,an?1,an表示方程各项的系数,均为筹算数码,在常数项旁边记一“太”字或
在一次项旁边记一“元”字,“太”或“元”向上每层减少一次幂,向下每层增加一次幂.
试根据上述数学史料,判断图3天元式表示的方程是( ) A.x2?286x?1743?0 C.1743x2?286x?1?0 【答案】C 【解析】 【分析】
根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1,286,1743,结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】
由题意可得,题图3中从上至下三个数字分别为1,286,1743, 由“元”向上每层减少一次幂,向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为
B.x4?27x2?84x?163?0 D.163x4?84x3?27x?1?0
1743x2?286x?1?0.
故选:C. 【点睛】
本题主要是以数学文化为背景,考查数学阅读及理解能力,充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键,属于中档题.
5.小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时,
小赵说:我没去过;小钱说:小李去过;小孙说;小钱去过;小李说:我没去过.假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过北京的是( ) A.小钱
B.小李
C.小孙
D.小赵