10．(2018·上饶模拟)已知斜率为k的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，弦AB的中垂线交x轴于
43点P(x0,0)，则x0的取值范围是____________．
x2y2
?11?答案 ?－，? ?22?
?3x＋4y＝12，?
解析 设直线的方程为y＝kx＋m，联立?
??y＝kx＋m，
2
2
化简得(3＋4k)x＋8kmx＋4m－12＝0， 所以Δ＝64km－4(3＋4k)(4m－12)>0， 所以4k－m＋3>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， －8kmx＋x＝，??3＋4k由题意得?4m－12
x·x＝，??3＋4k1
2
22
1
2
2
2
222
2
2
222
所以y1＋y2＝kx1＋m＋kx2＋m ＝k(x1＋x2)＋2m 8km6m＝2m－2＝2，
3＋4k3＋4k所以
2
x1＋x2
2
＝－4kmy1＋y23m＝2，2，
3＋4k23＋4k所以线段AB的中点坐标为?
?－4km2，3m2?，
??3＋4k3＋4k?
当k＝0时，弦AB的中垂线为y轴，此时x0＝0， 当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y－
4km?3m1?x＋＝－2?， ?2
3＋4kk?3＋4k?
把点P(x0,0)代入上面的方程得
x0(3＋4k2)＝－km.
x03＋4k222所以m＝－，代入4k－m＋3>0.
k4k＋3k2
整理得x<，令k＝t(t>0)， 4216k＋24k＋9
20
4
2
4t＋3t111x<2＝2＝<， 16t＋24t＋916t＋24t＋934
4＋24t＋3tt2
0
2
11
综上，－ 22 xy?226?2 11．(2018·南昌测试)已知P?，?是椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)与抛物线E：y＝2px(p>0)的一个公 ?33? 共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F. (1)求椭圆C及抛物线E的方程； (2)设过F且互相垂直的两动直线l1，l2，l1与椭圆C交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． 22 ?226?22 解 (1)∵P?， ?是抛物线E：y＝2px(p>0)上一点，∴p＝2，即抛物线E的方程为y＝4x，F(1,0)， ?33? ∴a－b＝1. 2 2 xy?226? 又∵P?，?在椭圆C：a2＋b2＝1上， ?33? ∴ 4822222＋2＝1，结合a－b＝1知b＝3(舍负)，a＝4， 9a3b22 ∴椭圆C的方程为＋＝1， 43抛物线E的方程为y＝4x. 2 x2y2 (2)由题意可知直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4， y4)． 1 ①当k＝0时，|AB|＝4，直线l2的方程为x＝1，|CD|＝4，故S四边形ACBD＝·|AB|·|CD|＝8. 21 ②当k≠0时，直线l2的方程为y＝－(x－1)， ky＝kx－1??22由?xy＋＝1??43 2 2 2 2 得(3＋4k)x－8kx＋4k－12＝0. 8k4k－12∴x1＋x2＝2，x1x2＝2. 3＋4k3＋4k由弦长公式知 |AB|＝1＋k|x1－x2| ＝ 1＋k222 2 [x1＋x2 212 －4x1x2]＝ k2＋1 . 2 4k＋3 同理可得|CD|＝4(k＋1)． 1 ∴S四边形ACBD＝·|AB|·|CD| 2112k＋12＝··4(k＋1) 2 24k＋3＝24 2 2 k2＋1 2 4k＋3 2 2 . 令t＝k＋1，t∈(1，＋∞)， 24t2424 则S四边形ACBD＝＝＝， 4t－1411?2?－2－?－2?＋4 2 ttt?t? 1 当t∈(1，＋∞)时，∈(0,1)， 24?1?2 －?－2?＋4<3，S四边形ACBD>＝8. 3?t? 综上所述，四边形ACBD面积的最小值为8. 12．已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D. (1)若当点A的横坐标为3，且△ADF为等边三角形，求C的方程； 1??(2)对于(1)中求出的抛物线C，若点D(x0,0)?x0≥?，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P， 2??且AP⊥BP，求证：点P的坐标为(－x0,0)，并求点P到直线AB的距离d的取值范围． 2 ??解 (1)由题意知F?，0?，|FA|＝3＋， 2?2??33p?则D(3＋p,0)，FD的中点坐标为?＋，0?， ?24? 33p则＋＝3，解得p＝2， 24故C的方程为y＝4x. (2)依题意可设直线AB的方程为x＝my＋x0(m≠0)， 2 ppA(x1，y1)，B(x2，y2)， ?y＝4x，? 则E(x2，－y2)，由? ??x＝my＋x0， 2 12 消去x，得y－4my－4x0＝0，x0≥. 2 所以Δ＝16m＋16x0>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4x0， 设P的坐标为(xP,0)， →→ 则PE＝(x2－xP，－y2)，PA＝(x1－xP，y1)， 2 →→ 由题意知PE∥PA，所以(x2－xP)y1＋y2(x1－xP)＝0， 即x2y1＋y2x1＝ 2 y2y1y2y1＋y22y1＋y1y2 4 ＝4 ＝(y1＋y2)xP， 显然y1＋y2＝4m≠0，所以xP＝ y1y2 4 ＝－x0， 即证P(－x0,0)，由题意知△EPB为等腰直角三角形， 所以kAP＝1，即 y1＋y2y1＋y2 ＝1，也即＝1， x1－x2122 y1－y2 4 2 所以y1－y2＝4，所以(y1＋y2)－4y1y2＝16， 即16m＋16x0＝16，m＝1－x0，x0<1， 11 又因为x0≥，所以≤x0<1， 22 2 2 d＝ |－x0－x0|2x02x0 ＝＝， 22 1＋m1＋m2－x0 令2－x0＝t∈?1，2 d＝ 2－t2 ??6?2 ?，x0＝2－t， 2? t4 ＝－2t， t46?? 易知f(t)＝－2t在?1，?上是减函数， t2??所以d∈? ?6??6?，2?.所以d的取值范围是?，2?. ?3??3? x2y2 13．已知双曲线Γ：2－2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BACab＝θ，若Γ的离心率为2，则( ) ?π?A．θ∈?0，? 2?? C．θ∈? π B．θ＝ 23π D．θ＝ 4 ?3π，π? ? ?4? ca答案 B 解析 ∵e＝＝2，∴c＝2a，∴b＝c－a＝a， ∴双曲线方程可变形为x－y＝a.设B(x0，y0)，由对称性可知C(－x0，y0)，∵点B(x0，y0)在双曲线上，∴x0－y0＝a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 →→→→2222 ∵A(a,0)，∴AB＝(x0－a，y0)，AC＝(－x0－a，y0)，∴AB·AC＝(x0－a)·(－x0－a)＋y0＝a－x0＋y0＝π→→ 0，∴AB⊥AC，即θ＝.故选B. 2 →→ 14．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最小 98值为__________． 答案 6 解析 点P为椭圆＋＝1上的任意一点， 98设P(x，y)(－3≤x≤3，－22≤y≤22)， 由题意得左焦点F(－1,0)， →→ ∴OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)， 72－8x→→22 ∴OP·FP＝x(x＋1)＋y＝x＋x＋ 91?9?223＝·?x＋?＋. 9?2?4 3915∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤， 2229?9?2225 ∴≤?x＋?≤， 4?2?411?9?225∴≤?x＋?≤， 49?2?41?9?223 ∴6≤·?x＋?＋≤12， 9?2?4→→ 即6≤OP·FP≤12.故最小值为6. 15．如图，由抛物线y＝12x与圆E：(x－3)＋y＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( ) 2 2 2 2 x2y2 x2y2 A．[4,5] B．[7,8] C．[6,7] D．[5,6] 答案 B
高考数学专题突破五 高考数学中的圆锥曲线问题 第1课时 范围、最值问题
