高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
第1课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
x2y2113e例1 (2016·天津)设椭圆2＋＝1(a>3)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中Oa3|OF||OA||FA|
为原点，e为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点
H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
113e解 (1)设F(c,0)，由＋＝，
|OF||OA||FA|11即＋＝2
2
3c222
，可得a－c＝3c.
caaa－c2
2
2
又a－c＝b＝3，所以c＝1，因此a＝4. 所以椭圆的方程为＋＝1.
43(2)设直线l的斜率为k(k≠0)， 则直线l的方程为y＝k(x－2)．
x2y2
xy??＋＝1，
设B(xB，yB)，由方程组?43
??y＝kx－2
2
2
2
2
22
消去y，
整理得(4k＋3)x－16kx＋16k－12＝0. 8k－6
解得x＝2或x＝2.
4k＋3
8k－6－12k由题意得xB＝2，从而yB＝2. 4k＋34k＋3由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)， 12k?→→?9－4k有FH＝(－1，yH)，BF＝?2，2?.
?4k＋34k＋3?→→
由BF⊥HF，得BF·FH＝0， 4k－912kyH所以2＋2＝0，
4k＋34k＋39－4k解得yH＝. 12k
2
2
2
2
2
9－4k因此直线MH的方程为y＝－x＋.
k12k1
2
y＝kx－2??2
设M(xM，yM)，由方程组?19－4ky＝－x＋，?k12k?
20k＋9
消去y，解得xM＝. 212k＋1
2
在△MAO中，由∠MOA≤∠MAO，得|MA|≤|MO|， 即(xM－2)＋yM≤xM＋yM，
20k＋9
化简，得xM≥1，即≥1， 2
12k＋1解得k≤－
66或k≥. 44
2
2
2
2
2
所以直线l的斜率的取值范围为?－∞，－
?
?6??6??∪?，＋∞?. 4??4?
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
2
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
4
2
y2
?12??12?(1)证明 设P(x0，y0)，A?y1，y1?，B?y2，y2?. ?4??4?
因为PA，PB的中点在抛物线上，
12
y＋x04y＋y0?2?所以y1，y2为方程??＝4·2，
?2?即y－2y0y＋8x0－y0＝0的两个不同的实根． 所以y1＋y2＝2y0， 所以PM垂直于y轴．
??y1＋y2＝2y0，
(2)解 由(1)可知?2
?y1y2＝8x0－y0，?
2
2
12232
所以|PM|＝(y1＋y2)－x0＝y0－3x0，
84|y1－y2|＝22
y2. 0－4x0
所以△PAB的面积
3221
y0?4x0S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝24??32.
因为x＋＝1(－1≤x0<0)，
4
所以y0－4x0＝－4x0－4x0＋4∈[4,5]， 1510??
所以△PAB面积的取值范围是?62，?.
4??
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( ) A．2 C．4 答案 C
解析 设直线AB的倾斜角为θ，
22
可得|AF|＝，|BF|＝，
1－cos θ1＋cos θ224
则|AF|·|BF|＝×＝≥4. 2
1－cos θ1＋cos θsinθ命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x－y＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
2
2
2
2
2
20
y20
B.2 D．22
答案
2 2
2
2
解析 双曲线x－y＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝
2. 2
|1－0|1
2
1
＝2
22
.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最22
大值为
命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值
x2y23
例4 (2018·天津模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b.
ab3
(1)求椭圆C的离心率； (2)若点M ?3，
?
?3?
?在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于2?
点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值． 解 (1)由题意，得a－c＝122
则(a－c)＝b，
3
1222222
结合b＝a－c，得(a－c)＝(a－c)，
3即2c－3ac＋a＝0，亦即2e－3e＋1＝0， 1
结合0 21 所以椭圆C的离心率为. 2(2)由(1)得a＝2c，则b＝3c. 2 2 2 2 2 3 b， 3 xy3?? 将M?3，?代入椭圆方程2＋2＝1，解得c＝1. 4c3c2?? 所以椭圆方程为＋＝1. 431 易得直线OM的方程为y＝x. 2 1 当直线l的斜率不存在时，线段AB的中点不在直线y＝x上，故直线l的斜率存在． 2设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，与＋＝1联立消y得(3＋4k)x＋8kmx＋4m－12＝0， 43由题意得Δ＝64km－4(3＋4k)(4m－12)＝48(3＋4k－m)>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 22 2 2 2 2 22 x2y2 x2y2 222 8km4m－12 则x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 3＋4k3＋4k因为y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝ 6m2， 3＋4k2 所以线段AB的中点N的坐标为?－1 因为点N在直线y＝x上， 24km3m所以－2＝2×2， 3＋4k3＋4k3解得k＝－. 2 所以Δ＝48(12－m)>0， 解得－23 13·2 2 ?4km2，3m2?， ? ?3＋4k3＋4k? ?3?2 1＋?－?|x2－x1| ?2? x1＋x2 2 2 2 －4x1x2 13＝·24m－12392 m－＝12－m. 36 2|m| 又原点O到直线l的距离d＝， 131392|m|2所以S△OAB＝×12－m× 26133 ＝6 12－m2 312－m＋mm≤·＝3. 62 22 22 当且仅当12－m＝m， 即m＝±6时等号成立， 符合－23 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 12 跟踪训练2 (2018·邢台模拟)已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称． 22 2 x2
高考数学专题突破五 高考数学中的圆锥曲线问题 第1课时 范围、最值问题
