第一节 绝对值不等式
[考纲传真] .理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:+≤+(,∈),-≤-+-(,,∈).会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:+≤;+≥;-+-≥.
(对应学生用书第页) [基础知识填充]
.绝对值三角不等式
定理:如果,是实数,则+≤+,当且仅当≥时,等号成立.
定理:如果,,是实数,那么-≤-+-,当且仅当(-)(-)≥时,等号成立. .绝对值不等式的解法
()含绝对值的不等式<与>的解法:
不等式 < > > {-<<} {>或<-} = ? {∈≠} < ? ()+≤,+≥(>)型不等式的解法: ①+≤?-≤+≤; ②+≥?+≥或+≤-.
()-+-≥,-+-≤(>)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解; ②利用零点分段法求解;
③构造函数,利用函数的图像求解.
[基本能力自测]
.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) ()-+-的几何意义是表示数轴上的点到点,的距离之和.( ) ()不等式-≤+等号成立的条件是≤.( ) ()不等式-≤+等号成立的条件是≤.( ) ()当≥时,+=+成立.( ) [答案] ()√ ()× ()√ ()√
.(教材改编)若关于的不等式-<的解集为,则实数=. - [依题意,知≠. 又-<?-<-<, ∴-<<.
由于-<的解集为, ∴<,=-且-=,则=-.]
.(教材改编)若关于的不等式≥++-存在实数解,则实数的取值范围是. (-∞,-]∪[,+∞) [由于++-≥(+)-(-)=, ∴++-的最小值为, 要使≥++-有解, 只需≥,∴≥或≤-.] .解不等式++≥.
[解] 当≥-时,原不等式化为+≥,分 解得≥-分
当<-时,原不等式化为--≥, 解得≤-分
综上,原不等式的解集是分
.(·江苏高考)设>,-<,-<,求证:+-<.
【导学号:】
[证明] 因为-<,-<,
所以+-=(-)+(-)≤-+-<+=. 故原不等式得证.
(对应学生用书第页)
(·全国卷Ⅰ)已知函数()=+--. ()画出=()的图像; ()求不等式()>的解集.
绝对值不等式的解法 【导学号:】
图
[
解错误!分
]
()
由
题
意
得
()
=