高等数学教案 §4不定积分
一、第一类换元积分法
教师举例分析不定积分：cos2xdx 的计算过程，导入第一类换元积分法。 （一）第一类换元积分公式
如果f(u),?(x)和??(x)都是连续函数，并且容易求得f(u)的一个原函数F(u)，则有如下公式：
??f[?(x)]??(x)dx?????f[?(x)]d?(x)
令u??(x)凑微分??f(u)du?F(u?C)?F[?(x)]＋C
回代利用复合函数的求导法则，可以验证上式的正确性．
用这种方法的计算程序是先“凑”微分式，再作变量置换，因此我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微分法．
例1 求下列不定积分（第一小题写出中间变量，以后逐步脱离中间变量的设置）
dx4?x?1 （2）?(2x?1)dx
1dx （4）?e2x?1dx （3）?1?2x（1）常见类型一： 通常形如：分。
课堂练习（一） ① 求sin2xdx；除了用上述方法以外还可以怎样做呢？ ② 若
?f(ax?b)dx?1f(ax?b)d(ax?b)(a?0)令ax?b?u进行换元积a???f(x)dx?sinx?c, 求?f(ax?b)dx? 。
dx2x?1
③
?例2 求下列不定积分 （1）xedx （2）
?x2x2dxx3?xdx （3）?1?x2?教师小结： 1. 例2所出现的常见类型小结－常见类型（二） 通常形如：xf(x)dx?n?1nxf(x)dx???2122f(x)d(x)令x2?u进行换元积分；一般?21nnxn?t进行换元积分； f(x)d(x)，则令n?2.积分方法的选取应该根据什么？－应该根据经过换元后便于利用积分公式； 课堂练习（二） 6
高等数学教案 §4不定积分
①
?x1?x2dx ②?x(1?x2)dx ③?xaxdx
52例3 求下列不定积分
教学方法：指出这三个题分别是属于常见类型，为常见凑微分类型小结作准备 （1）
?sin3?2x3?2xdx （2）?lnxedx （3）?2dx xx1x
（二）常用凑微分法公式的被积函数类型
1. f(ax?b)dx?1f(ax?x)d(ax?b)（a?0） a 特别f(x?b)dx?f(x?b)d(x?b)
n?12. xf(xn)dx?11f(xn)d(xn) 3. f(x)dx?2f(x)d(x) nx1f(lnx)dx?f(lnx)d(lnx) x4. exf(ex)dx?f(ex)d(ex) 5. 6.
1111f()dx??f()d() xxxx27. sinxf(cosx)dx??f(cosx)d(cosx) 或 cosxf(sinx)dx?f(sinx)d(sinx) 8. sec2xf(tanx)dx?f(tanx)d(tanx) 或csc2xf(cotx)dx??f(cotx)d(cotx) 9.
11?x2f(arcsinx)dx?f(arcsinx)d(arcsinx)
11?x2 或
f(arccosx)dx??f(arccosx)d(arccosx)
1f(arctanx)dx?f(arctanx)d(arctanx)
1?x21f(arccotx)dx??f(arccotx)d(arccotx) 或
1?x210.
例4 求下列不定积分 ⑴
dxdxdx ⑵ ⑶ ?x2?a2?a2?x2?x2?x?6
??0??0 ??0次因式的积?将分母分解成两个一dx?通常形如：?二次幂?ax2?bx?c?分母是一个一次因式的?将分母配方? 7
高等数学教案 §4不定积分
例5 求下列不定积分－指出被积函数为三角函数时方法的选取 （1）tanxdx － 解题后，指出其相关类型积分方法的选取；
3（2）cosxdx － 解题后，指出相关类型积分方法的选取；
??（3）
dx?cosx － 指出此题的多种解法
课堂练习（三）
①
小结第一换元积分法，提出新的一种被积函数的类型－含有根号 如：
dx?x2?2x?4 ② dx?x(2lnx?1)
?a2?x2dx如何计算呢？
?2?dxx?1如何计算？
给出其求解的一般方法（第二换元积分法）。
二、第二类换元积分法 （一）第二换元积分公式
当某些函数的积分
?f(x)dx不易被积出，则我们可以通过设x??(t)（单调且可导，
??(t)?0）??(t)，则 ，其反函数为t??(x)，且F?(t)?f[?(t)]
?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?C?F[?(x)]?C
便可求出
?f(x)dx的原函数表达式．这种换元的积分方法被称为第二类换元积分法.
例6 计算
?2?1x?1dx. － 注重解题方法分析、解题步骤书写
（答案： ?2x?1?4ln(2?例7 计算
x?1)?C）
?a2?x2dx － 分析此题与上题的共同点与不同点，然后导出方法
a2xxa2?x2 （答案： ＝arcsin???c）
2a2a
8
高等数学教案 §4不定积分
（二）三角代换类型小结
1. 被积函数中含有a2?x2
一般令x?asint(??2?t??2， )（或x?acost(0?t??)）
则a2?x2?a1?sin2t?acost(a?0)
2. 被积函数中含有x2?a2
一般令x?asect(0?t??)（或x?acsct(??2?t??2， )）
则a2?x2?asec2t?1?atant(a?0)
3. 被积函数中含有a2?x2
一般令x?atant(??2?t??2， )（或x?acott(0?t??)）
则a2?x2?a1?tan2t?asect(a?0)
例8 计算
??x2?a2dx －分析此题与上两题的共同点与不同点，然后导出方法 x 例9 计算
dx1?ex.－ 分析、解题
三、不定积分基本公式补充
本节例题中出现的几种积分的类型是经常会遇到的，它们通常也被当作公式使用．我们将其也列于基本积分公式表中，具体总结添加如下：
?tanxdx??lncosx?C ?cotxdx?lnsinx?C 9
高等数学教案 §4不定积分
?secxdx?lnsecx?tanx?C ?cscxdx?lncscx?cotx?C ?dx1x?arctan?C 22aaa?x??dx1a?x?ln?C 222aa?xa?xdxx2?a2?lnx?x2?a2?C ?dxa2?x2?arcsinx?C a
本堂课小结：
主要内容：第一类、第二类换元积分法
重点：第一、第二换元积分法的思想方法与解题步骤 难点：积分方法的正确选取、凑微分 作业
1. 习题4 教材P98 2单号题；3双号题
2. 补充题：（1）已知F(x)是e （2）已知
?x2的一个原函数，求
d(F(x))
dx?f(x)dx?sinx?x?C，求?exf(ex?1)dx
第三节 分部积分法
【教学内容】分部积分法。
【教学目的】理解分部积分法的思想方法，能针对两种不同类型函数之积的被积函数，正确
选取u,dv，熟练掌握分部积分法步骤。
【教学重点】分部积分法 【教学难点】u,dv的正确选取
【教学时数】1学时 【教学进程】
导入新课：
1. 复习第一换元积分、第二换元积分法，并指出其适合于哪一类被积函数；
x2. 提出当被积函数的形式为两类不同类型函数（如：xsinx；xe；xlnx；xarctanx等）之积的情形，如何求其不定积分问题，导入新课
一、分部积分法
教师举例分析不定积分：xcosxdx 的计算过程，导入分部积分公式与分部积分法。 （一）分部积分公式
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高等数学第四章 不定积分教案
