高等数学教案 §4不定积分
第四章 不定积分
?原函数?????定义????几何意义不定积分??知识结构图： ? ?性质???基本公式??直接积分法????第一换元积分法?求不定积分???第二换元积分法???分部积分法?
教学目的要求：
1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不定积分的几何意义与基本性质。
2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。
教学重点：
1．原函数与不定积分的概念
2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点：
1．不定积分的几何意义
2．凑微分法、分部积分法求不定积分
第一节 不定积分的概念与基本公式
【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。
【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。
【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】
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高等数学教案 §4不定积分
一、原函数与不定积分的概念
(一)原函数的概念
前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题，
如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为k?2x,求此曲线的方程。
②已知某产品的边际成本MC，要求该产品总成本的变化规律C?C(q)． １．原函数定义
定义4．1 设f(x)是定义在区间I内的已知函数．如果存在可导函数F(x)，使对于任意的x?I，都有
F?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx
则称函数F(x)是函数f(x)的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数:
2x①f(x)?cosx ②f(x)?3x ③f(x)?a ④f(x)?1 x教师将举例分析：如(?cosx)??sinx，则?cosx是sinx在R上的一个原函数。
(x2)??2x，则 x2是2x的一个原函数。
教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此，
我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论．
结论：如果函数f(x)在某区间上连续，则其原函数一定存在 （2）x?5是不是x在R上的一个原函数呢？学生回答：是
（3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 2.原函数个数
定理4．1 如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)?C也是f(x)的原函数，且f(x)的所有原函数都具有F(x)?C的形式（C为任意常数）． (二)不定积分的概念
教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数f(x)有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为F(x)?C的形式，我们把它叫做f(x)的不定积分。
１．不定积分定义
定义4．2 如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则称f(x)的全体原函数F(x)?C（C为任意常数）为f(x)的不定积分，记作
22?f(x)dx?F(x)?C
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其中
?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式，x称为积分变量，
C称为积分常数．
例2 求下列函数的不定积分:
①f(x)?2x ②f(x)?ex ③f(x)?1 x2．不定积分几何意义
提问：不定积分是否像导数那样具有某种几何意义呢？
观察图4-1，根据不定积分的定义，具有这样的性质：
结论：F(x)?C表示的是一族曲线，其中任意一条曲线都可
以由曲线y?F(x)沿y轴上、下平移得到．这积分曲
线上横坐标相同的点处所作曲线的切线都是互相平行的（如图4-1所示）。
例3 已知某曲线上一点（－1，2），且过曲线上任意一点的 切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程
课堂练习(一)：
求下列函数的一个原函数与不定积分:
①f(x)?4x3 ②f(x)?csc2x ③f(x)?2x
3．不定积分的性质
提问：若对于任意的x?I,f?(x)?g(x)，那么性质1（积分运算与微分运算互为逆运算）
[f(x)dx]??f(x) 或 d[f(x)dx]?f(x)dx
?f?(x)dx??，[?f(x)dx]???
???f?(x)dx?f(x)?C 或 ?df(x)?f(x)?C
性质2 （不定积分的运算法则）
两个函数代数和的不定积分，等于这两个函数不定积分的代数和，即
??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx
推广：有限个函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即
??f(x)?f12(x)?????fn(x)?dx??f1(x)dx??f2(x)dx??????fn(x)dx
性质3 （不定积分的运算法则）
被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即
?kf(x)dx?k?f(x)dx (k?0)
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4．不定积分的基本公式 设想：导数运算与积分运算是互为逆运算，那么我们是否可以通过导数基本公式得到相应的不定积分公式？结论是肯定的，
师生配合，根据导数基本公式，以及例1、2和课堂练习（一）得如下不定积分公式：
1??1x?C (???1) ????111xxa?C ?exdx?ex?C 3. ?dx?lnx?C 4. ?adx?xlna?1.0?dx?C 2. xdx? 5. sinxdx??cosx?C 6. cosxdx?sinx?C
22 7. secxdx?tanx?C 8. cscxdx??cotx?C
???? 9.
??dx1?x2?arcsinx?C 10. ?dx?arctanx?C 21?x11. secxtanxdx?secx?C 12. cscxcotxdx??cscx?C
利用基本积分表和不定积分的性质，可以直接计算一些简单的不定积分,或将被积函数经过适当的恒等变形，再利用积分的基本性质和基本积分公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法．
例4 求(3x?5e?解
2x(3x?5e????2x1)dx 1?x2112x)dx?3xdx?5edx?dx 22???1?x1?x3x ?x?5e?arctanx?C
xx例5 求 (3e?5sinx)dx
?xxxx解 (3e?5sinx)dx?3edx?5sinxdx
???(3e)x??(3e)dx?5?sinxdx??5cosx?C
ln(3e)x(x?1)2例6 求?dx
x11(x?1)2x?2x?1dx??dx dx??dx??dx?2?解 ?xxxx ?x?4x?lnx?C
1?x2dx 例7 求?1?x2 4
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1?x22?(1?x2)1dx?dx?2解 ??1?x2?1?x2dx??dx 1?x2?2arctanx?x?C
2例8 求tanxdx
?222解 tanxdx?(secx?1)dx?secxdx?dx?tanx?x?C
????x?2dx
1?cosx11112xdx??dx??dx??cosxdx?x?sinx?C 解 ?cos2222221dx 例10 求?22sinxcosx例9 求cos21sin2x?cos2x1??1dx?dx解 ????dx 22?sin2xcos2x??sin2xcos2xcosxsinx???tanx?cotx?C
课堂练习（二）：求下列不定积分
①
?xxdx ②?1?xdx
x2?xx2x2?x?2x29?2dx ③? ④dx?2x(1?x)
本堂课小结：
主要内容：原函数、不定积分的概念；不定积分的性质与运算法则；直接积分法。 重点：不定积分性质与基本公式，直接积分法。
难点：经恒等变形后使用直接积分法计算不定积分。
第二节 换元积分法
【教学内容】第一类换元积分法、第二类换元积分法求函数的不定积分。 【教学目的】理解第一类换元、第二类换元积分法的思想方法，熟练掌握第一换元积分法（凑
微分法），知道常用第二换元积分计算不定积分的被积函数类型，掌握第二换元积分法步骤。
【教学重点】1.第一类换元积分法；2.第二类换元积分法。 【教学难点】1.积分方法的合理选取；2.凑微分法 【教学时数】3学时 【教学进程】
导入新课：
1. 不定积分与导数运算是互逆运算；
2. 不定积分基本公式及其性质只能解决一些较简单函数的不定积分； 3. 复习复合函数的导数法则，引入新课。
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高等数学第四章 不定积分教案
