第一§1.1集合
章
1. 关于集合的元素的特征
（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流） （2）互异性 （3）无序性
集合相等：构成两个集合的元素完全一样
(1)若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B. 例：已知A={1,1+d，1+2d}，B={1，q，q2}，若A=B，求的，d，q的值。 解：d=－，q=－ 2. 元素与集合的关系；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作a?A
子集与真子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B或B?A.
若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.记作 若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.A?B或B?A.
子集与真子集的性质：传递性：若A?B，B?C，则A?C 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 3. 常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 4. 集合的表示方法
（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
（2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；
（3） 自然语言描述法：小于10的所有正偶数组成的集合。（{2,4,6,8}）
练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（）
A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形 5. 集合间的基本运算
并集（∪）：一般的由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，成为集合A与B的并集，记作A∪B，即：
AB?{x|x?A,或x?B},韦恩图如下：
交集（∩）：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即：
AB?{x|x?A,且x?B}.韦恩图如下：
全集（U）：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就成这个集合为全集，记为U。
补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即 CUA={x?x?U且x?A}，韦恩图如下： 练习： 1、若A={0，2，4}，CUA={-1，2}，CUB={-1，0，2}，求B=。
U 2、设A={x|x>-2},B={x|x<0},求A∩B. A CUA 3、若A={x|x=4n,n∈Z}，B={x|x=6n,n∈Z}，求A∩B.
4、A={x|a≤x≤a+3},B={x|x＜-1或x＞5}，分别求出满足下列条件的a的取值范围:(1)A∩B=?(2)A∩B=A 5、已知A={x|-1＜x＜2},B={x|1＜x＜3}求A∪B.
7、已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且
X?A??,X?B?X，试求p、q；
8、已知集合A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，且1∈A，求实数a的值
9、已知集合A={x|x2－5x＋6=0}，B={x|mx＋1=0}，A∪B=A，求实数m的值组成的集合。 10、集合A={x||x－2|≤2，x∈R}，B={y|y=－x2，－1≤x≤2}，则CR(A∩B)等于（）
问：1、{1，3，5，7，9}如何用自然语言描述法表示？2、用例举法表示集合A?{x?N|1?x?8}
A.RB.{x|x∈R，x≠0}C.{0}D.Φ（空集）
11、已知{a，b}?A，且A为{a，b，c，d，e}的真子集，则满足条件的集合A的个数是（） 12、记函数f（x）=lg（2x－3）的定义域为集合M，函数g（x）=
N，求：（1）集合M、N；（2）集合m∩N，M∪N
的定义域为集合
13、已知集合A={x||x－a|≤1}，B={x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B=Φ，则实数a的取值范围是（）
§1.2函数
函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。 记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域
区间：（1）、开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）、无穷区间；区间的数轴表示
1例1：已知函数f(x)=x?3+，求函数的定义域。
x?2例2：设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域。
函数的定义域小结：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义.
例3：下列函数中哪个与函数y=x相等？ （1）y=(x)2;（2）y=(3x3);
x22（3）y=x;（4）y=
x练习：1.求下列函数的定义域 （1）y=（2） y=
＋
（3）已知f（x）的定义域为（－1,1），求函数F（x）=f（1－x）＋f（）的定义域。 2.已知A={1,2,3，k}，B={4,7，a4，a2＋3a}，a∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k，A，B。 解：a=2，k=5，A={1,2,3,5}，B={4,7,16,10}
映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 记作“f：A→B” 说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．
（2）“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
例：1.已知A={x，y}，B={a，b，c}，从集合A到集合B的所有不同的映射有（）个。 2.已知A={x，y}，B={a，b，c}，从集合B到集合A的所有不同的映射有（）个。 函数的表示方法：解析法、列表法、图像法
练习：1.已知f（x－2）=2x2－9x＋13，求f（x）——配凑法 答案：f（x）=2x2－x＋3
2.已知f（＋1）=x＋2，求f（x＋1），f（x2）——换元法
答案：f（x＋1）=x2＋2x，（x≥0）；f（x2）=x4－1，（x≤－1或x≥1） 3.已知f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=9x＋8，求f（x）——待定系数法 答案：f（x）=3x＋2或f（x）=－3x－4
4.设f（x）满足关系式f（x）＋2f（）=3x，求f（x）——消元法 答案：f（x）=－x，x∈{x|x∈R，x≠0}
6.已知x≠0，函数f（x）满足f（x－）=x2＋，则f（x）的表达式为（）
A.f（x）=x＋B.f（x）=x2＋2C.f（x）=x2D.f（x）=（x－）2 7.已知函数f（x）=
，那么f（5）的值为（）
A.32B.16C.8D.64
8.若函数f（2x＋1）x2－2x，则f（3）=（） 9.已知函数f（x）=
，则f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋
f（4）＋f（）的值为（）
10.已知f（＋1）=lgx，求f（x）
11.已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x＋1）=f（x）＋x＋1，求f（x）
12.定义在（－1,1）内的函数f（x）满足：2f（x）－f（－x）=lg（x＋1），求函数f（x）的解析式.
§1.3函数的基本性质
增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 (1) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； (2) 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自变量x1，x2，当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 k例1：物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体 V积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。（设V1＞V2＞0） 判断函数单调性的方法步骤: 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ①任取x1，x2∈D，且x1 ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）. 练习： 1、用函数单调性的定义证明f（x）=x＋在（，＋∞）上是增函数。 2、若3x－3－y≥5－x－5y成立，则（） A、x＋y﹥0B、x＋y﹤0C、x＋y≥0D、x＋y≤0 3、函数y=log1/2（4＋3x－x2）的一个单调递增区间是（） A.（－∞，）B.[，＋∞﹚C.（－1，）D.[，4﹚ 4.下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（） A.y=－x＋1B.y= C.y=x2－4x＋5D.y= 5.函数f（x）=（x∈R）的值域是（） A.（0,1）B，（0,1]C.[0,1）D.[0,1] 6.已知函数f（x）ax2＋2ax＋1，x∈[－3,2]的最大值为4，求其最小值. 函数的奇偶性和周期性： 函数的奇偶性定义： 1．偶函数： 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(?x)?f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数： 一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(?x)??f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意：
高一数学 必修一复习资料
