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当??0,a与b共线同向：当??0,a与b共线反向；当向量共线.
注意：若a,b共线，则a??b （×）
b则为0,0与任何
若c是a的投影，夹角为?，则cos??a?c，cos??a?c （√） ②设a=?x1,y1?，b??x2,y2?
??a∥b?x1y2?x2y1?0?a??b?a?b?a?b ??⊥b?a?b?0?x1x2?y2y1?0 a??③设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则A、B、C三点共线???∥
?=?（??0）
（x2?x1,y2?y1）=?（x3?x1,y3?y1）（??0） （x2?x1）·（y3?y1）=（x3?x1）·（y2?y1）
??x1x2?y1y22x1④两个向量a、b的夹角公式：
cos??
2y2?2y1?2x2?⑤线段的定比分点公式：（??0和?1）
1（x1,y1）,(x,设 P1P=?PP2（或P2P=PP1），且P1,P,P2的坐标分别是
???y??y2?y?1??1??y),(x2,y?)，则x22x?x1?? ??1???
推广1：当?
推广2：AMMBy?y2?y?1??2?x??x?1x2 ??1时，得线段P1P2的中点公式：2?BMAP??则PM?PA??PB1??（?对应终点向量）.
三角形重心坐标公式：△ABC
x?x2?x3?x?1??3???xy,??y的顶点A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，重心坐标：2y3 ?y?y1G?3?注意：在△ABC中，若0为重心，则OA?OB?OC?0，这是充要条件.
'??‘?x?x?h''⑥平移公式：若点P?x,y?按向量a=?h,k?平移到Px,y，则?'
??y?y?k??4. ⑴正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则
abc???2R. sinAsinBsinC16
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?a2?b2?c2?2bccosA?222⑵余弦定理：??b?a?c?2accosB
?2c?b2?a2?2abcosC??A?B2⑶正切定理：a?b?A?Ba?btan2tan
⑷三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=P?P?a??P?b??P?c? [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.
如图： 图1中的I为S△ABC的内
AcBEaAbacD I D r F 图2中的I为S△ABC的一
BaECraIraFb心， S△=Pr
CAcbOaB个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra
AC
EF
1图
图2 B N 图3
C图4
附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周
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长,即
a?b?c2]
则：①AE=s?a=1/2（b+c-a） ②BN=s?b=1/2（a+c-b） ③FC=s?c=1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=
a?b?cab（如图3）. ?2a?b?c⑹在△ABC中，有下列等式成立tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC. 证明：因为A?B???C,所以tan?A?B??tan???C?，所以论！
AC2BD?AB2BC⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则AD??BD?DC.
BC2tanA?tanB??tanC，?结
1?tanAtanBA证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2?AB2?BD2?2?AB?BDcosB?① AB2?BC2?AC2在△ABC中，由余弦定理有cosB??②，②代入①，化简
2AB?BCB可得，AD2?ACBD?ABBC?BD?DC（斯德瓦定理）
BC12b2?2c2?a2222DC图5①若AD是BC上的中线，ma?②若AD是∠A的平分线，ta?③若AD是BC上的高，ha?⑻△ABC的判定：
2a；
2bc?p?p?a?，其中p为半周长； b?cp?p?a??p?b??p?c?，其中p为半周长.
c2?a2?b2?△ABC为直角△?∠A + ∠B =?
2c2＜a2?b2?△ABC为钝角△?∠A + ∠B＜c2＞a2?b2?△ABC为锐角△?∠A + ∠B＞
? 2? 2附：证明：cosC?a2?b2?c22ab，得在钝角△ABC中，cosC?0?a2?b2?c2?0,?a2?b2?c2
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
a?b2?a?b2?2(a2?b2)
§6. 不 等 式 知识要点
1. ⑴平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
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a2?b2a?b2??ab?1122?ab（当a = b时取等）
a?b2a2?b2a?b2a2?b2特别地，ab?(（当a = b时，()?)??ab）
2222a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等) 33??21(a1?a2?...?an)2 n⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
22?...?an??幂平均不等式：a12?a2①a3?b3?a2b?ab2
②a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?ac?bc)
； ?a3?b3?c3?3abc（a?b?c?0等式即可成立，a?b?c或a?b?c?0时取等）
3333a?b?ca?b?c?3a?b?c? abc??abc????333??1ab?ba?ac?(a??b?c)2（a?b?c时取等）
3⑶绝对值不等式：
a1?a2?a3?a1?a2?a3a?b?a?b?a?b(ab?0时,取等)
a1?a2?L?ann?a1a2Lann⑷算术平均≥几何平均（a1、a2…an为正数）：（a1=a2…=an时取等）
⑸柯西不等式：设ai,bi?R(i?1,2,?,n),则
22222(a1b1?a2b2???anbn)2?(a21?a2???an)(b1?b2???bn)
等号成立当且仅当
aa1a2????n时成立.（约定ai?0时，bi?0） b1b2bn例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2). ⑹常用不等式的放缩法：①1?1?nn?111111p2p??(n?2) n(n?1)nn(n?1)n?1n②n?1?n?1n?n?1p12np1n?n?1?n?n?1(n?1)
2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：
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①x(1?x)2??2x(1?x)(1?x)?()3?221212234 272x2(1?x2)(1?x2)123423②y?x(1?x)?y? ?()??y?223279类似于y?sinxcos2x?sinx(1?sin2x) ③|x?1|?|x|?|1|(x与1同号，故取等)?2
xxx
§7. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程.
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0????180?(0????).
注：①当??90?或x2?x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为
a,b(a?0,b?0)时，直线方程是：
xy??1. ab23注：若y??x?2是一直线的方程，则这条直线的方程是y??x?2，但若
y??2x?2(x?0)则不是这条线. 323附：直线系：对于直线的斜截式方程y?kx?b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.
3. ⑴两条直线平行：
①l1和l2是两条不重合的直线. ②在l1和l2l1∥l2?k1?k2两条直线平行的条件是：
的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前
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高三数学总复习知识点
