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高中数学总复习
高中数学第一章-集合
I. 基础知识要点
1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A?A； ②空集是任何集合的子集，记为??A； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果A?B，同时B?A，那么A = B. 如果A?B，B?C，那么A?C.
[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集（.×）（例：S=N； A=N?，则CsA= {0}） ③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B，则CBA = ?， CAB = ? CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ?）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R
?二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? 解的集合{(2，1)}.
2x?3y?1?②点集与数集的交集是?. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =?）
4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n －1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若a?b?5，则a?2或b?3应是真命题.
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?x?y?3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②x?1且y?2， x?y?3. 解：逆否：x + y =3
?x?1且y?2x = 1或y = 2.
x?y?3,故x?y?3是x?1且y?2的既不是充分，又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若x?5，?x?5或x?2.
II. 竞赛知识要点
1. 集合的运算.
A?（B?C）?（A?B）?（A?C）A?（B?C）?（A?B）?（A?C）（A?B）?C?A?（B?C）（A?B）?C?A?（B?C）
A?（A?B）?A，A?（A?B）?ADe Morgan公式 CuA∩ CuB = Cu（A∪ B） CuA∪ CuB = Cu（A∩ B） 2. 容斥原理：对任意集合AB有
A?B?A?B?A?B.
A?B?C?A?B?C?(A?B?A?C?B?C)?A?B?C.
高中数学第二章-函数
I. 基础知识要点
1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.
2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数. （0，1）?（1，2）3. 反函数定义：只有满足x????y，函数y?f(x)才有反函数. 例：y?x2无反唯一函数.
函数y?f(x)的反函数记为x?f?1(y)，习惯上记为y?f?1(x). 在同一坐标系，函数
y?f(x)与它的反函数y?f?1(x)的图象关于y?x对称.
[注]：一般地，f?1(x?3)?f(x?3)的反函数. f?1(x?3)是先f(x)的反函数，在左移三
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个单位.f(x?3)是先左移三个单位，在f(x)的反函数.
4. ⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.
⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.
⑶设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数y?f?1(x)在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同.
⑷一般地，如果函数y?f(x)有反函数，且f(a)?b，那么f?1(b)?a. 这就是说点（a,b）在函数y?f(x)图象上，那么点（b,a）在函数y?f?1(x)的图象上.
a＜15. 指数函数：y?ax（a?0,a?1），定义域R，值域为（0）. ,??0＜y=ax▲yy=axa＞1⑴①当a?1，指数函数：y?ax在定义域上为增函数；
O1x②当0?a?1，指数函数：y?ax在定义域上为减函数.
⑵当a?1时，y?ax的a值越大，越靠近y轴；当0?a?1时，则相反. 6. 对数函数：如果a（a?0,a?1）的b次幂等于N，就是ab?N，数b就叫做以a为
底的N的对数，记作logaN?b（a?0,a?1，负数和零没有对数）；其中a叫底数，N叫真数. ⑴对数运算：
loga(M?N)?logaM?logaN(1)logaM?logaM?logaNNnNlogaMn?nloga??M?12)logaaloga1M?logaMn?NlogbNlogba
换底公式：logaN?推论：logab?logbc?logca?1?loga1a2?loga2a3?...?logan?1an?loga1an（以上M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2...an?0且?1） 注⑴：当a,b?0时，log(a?b)?log(?a)?log(?b). ⑵：当M?0时，取“+”，当n是偶数时且M?0时，Mn3
而M?0，?0，故取“—”.
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例如：logax2?2logax?(2logax中x＞0而logax2中x∈R）. ⑵y?ax（a?0,a?1）与y?logax互为反函数.
当a?1时，y?logax的a值越大，越靠近x轴；当0?a?1时，则相反. 7. 奇函数，偶函数： ⑴偶函数：f(?x)?f(x)
设（a,b）为偶函数上一点，则（?a,b）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于y轴对称，例如：y?x2?1在[1,?1)上不是偶函数. ②满足f(?x)?f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，⑵奇函数：f(?x)??f(x)
设（a,b）为奇函数上一点，则（?a,?b）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：y?x3在[1,?1)上不是奇函数. ②满足f(?x)??f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，
y轴对称???y?f（?x）8. 对称变换：①y = f（x）??
f(x)?1. f(?x)f(x)??1. f(?x)x轴对称???y??f（x）②y =f（x）??
????y??f（?x）③y =f（x）?原点对称
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
222 f(x1)?f(x2)?x21?b?x2?b?（x1?x2）(x1?x2)22xx?b2?x1?b2
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. x例如：已知函数f（x）= 1+的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则
1?x集合A与集合B之间的关系是 B ? A . 解：f(x)的值域是f(f(x))的定义域B，f(x)的值域?R，故B?R，而A??x|x?1?，
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故B?A. 11. 常用变换：
①f(x?y)?f(x)f(y)?f(x?y)?证：f(x?y)?xyf(x). f(y)f(y)?f(x)?f[(x?y)?y]?f(x?y)f(y) f(x)②f()?f(x)?f(y)?f(x?y)?f(x)?f(y) 证：f(x)?f(?y)?f()?f(y) 12. ⑴熟悉常用函数图象：
例：y?2→|x|关于y轴对称.
▲xyxy|x|?1?y????2?▲|x?2|1?→y?????2?|x|1?→y?????2?▲|x?2|
yyy(0,1)x(-2,1)xx
y?|2x2?2x?1|→|y|关于x轴对称.
▲
yx
⑵熟悉分式图象： 例：y?2x?17?定义域{x|x?3,x?R}， ?2?x?3x?3▲y2x3值域{y|y?2,y?R}→值域?x前的系数之比.
§3. 数 列 知识要点
定义 递推公式 等差数列 an?1?an?d an?an?1?d；an?am?n?md 等比数列 an?1?q(q?0) anan?an?1q；an?amqn?m 5
高三数学总复习知识点
