2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

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中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 题 号 得 分 评卷人 复查人 答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.

一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw27 1．设a?7?1，则代数式3a3?12a2?6a?12的值为( >.

7?10

一 二 11 三 12 1～5 6～10 13 14 总 分

2．对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对与之（a，b）（c，d）间的运算“△”为：

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于任意实数u，v， 都有.qfRgF4dw27

3．若x?1，y?0，且满足xy?xy，?x3y，则x?y的值为( >.

9211 2xy4．点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设S四边形EADF?S1，S?BDF?S2，S?BCF?S3，S?CEF?S4，则S1S3与S2S4的大小关系为( >.

5．设S?111???132333?1，则4S的整数部分等于( >. 993

6．若关于x的方程(x?2)(x2?4x?m)?0有三个根，且这三个根恰好可

以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是 .

7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy01 2 / 11

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8．如图，点A，B为直线y?x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y?1

x4OC2?OD2 的值为 .NW2GT2oy01

<第8题） <第10题） 9．若

y?1?x?x?1的最大值为a，最小值为b，则a2?b2的值2为 .

10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 .NW2GT2oy01 三、解答题<共4题，每题20分，共80分）

11．已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程x2?ax?b?0的两个根都大1，求a?b?c的值.

12．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点.

13．如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线

<第12题） 3 / 11

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y?22x于P，Q两点. 3<1）求证：∠ABP=∠ABQ；

<2）若点A的坐标为<0，1），且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的直线PQ的函数解读式.

14．如图，△ABC中，?BAC?60?，

AB?2AC．点P在△ABC内，且

PA?3，PB?5，PC?2，求△ABC的面积．

<第13题）

中国教育学会中学数学教学专业委员

会

<第14题） “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题

1．A

解：因为a?7?1， a?1?7， a2?6?2a， 所以

3a3?12a2?6a?12?3（a6?2a）?12（6?2a）?6a?12??6a2?12a?60??（66?2a）?12a?60?24.

2．B

?ux?vy?u，?u(x?1)?vy?0，解：依定义的运算法则，有?即?对任

vx?uy?v，v(x?1)?uy?0??何实数u，v都成立. 由于实数u，v的任意性，得

3．C

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解：由题设可知y?xy?1，于是

x?yx3y?x4y?1，

所以 4y?1?1， 故y?，从而x?4．于是x?y?．

4．C

解：如图，连接DE，设S?DEF?S1?，则

S1?EFS4??，从而有S1?S3?S2S4．因为S1?S1?，S2BFS31292所以S1S3?S2S4．

5．A

解：当k?2，， 3 ， 99时，因为

<第4题） 111?11??????， k3k?k2?1?2??k?1?kk?k?1??所以 1?S?1?11??2333?11?11?5?1?????. 9932?299?100?4 于是有4?4S?5，故4S的整数部分等于4．

二、填空题 6．3＜m≤4

x2，解：易知x?2是方程的一个根，设方程的另外两个根为x1，则x1?x2?4，x1x2?m．显然x1?x2?4?2，所以

x1?x2?2， ??16?4m≥0，

即 ?x1?x2?2?4x1x2?2，??16?4m≥0，所以 16?4m?2， ??16?4m≥0，

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解之得 3＜m≤4.

7．1

9解： 在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是

41?.NW2GT2oy01 369 8．6

解：如图，设点C的坐标为，点D的坐标（a，b）为,则点A的坐标为，点B的坐标为（c，d）（a，a）（c，c）. 因为点C，D在双曲线y?上，所以ab?1，cd?1．

由于AC?a?b，BD?c?d， 又因为BD?2AC，于是< 第8题） c?d?2a?b，c2?2cd?d2?（4a2?2ab?b2），4a2?b2）?（c2?d2）?8ab?2cd?6，所以 （

1x即4OC2?OD2?6.

9．

解：由1?x≥0，且x?≥0，得≤x≤1．

y2?131131?2?x2?x???2?(x?)2?． 2222416321212由于<<1，所以当x=时，y2取到最大值1，故a=1． 当x=或1时，y2取到最小值，故b=所以，a2?b2?． 10．84

解：如图，设BC＝a，AC＝b，则

3212122． 21234346 / 11

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a2?b2?352＝1225． ①

又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以

FEAF12b?12，即?，故 ?CBACab 12(a?b)?ab． ② 由①②得

<第10题） 2 ， （a?b）?a2?b2?2ab?1225?24（a?b）解得a＋b＝49<另一个解－25舍去），所以

a?b?c?49?35?84．

三、解答题

11．解：设方程x2?ax?b?0的两个根为?，?，其中?，?为整数，且?≤?，则方程x2?cx?a?0的两根为??1，??1，由题意得

?????a，???1????1??a，

两式相加得 ???2??2??1?0， 即 (??2)(??2)?3， 所以 ? 解得 ?????1，????5， 或? ??1；???3.?????2?1，???2??3， 或?

???2?3；???2??1.又因为a?? 所以 （???），b???，c??（[??1）?（??1）]，a?0，b??1，c??2；或者a?8，b?15，c?6，

故a?b?c??3，或29.

12．证明：如图，延长AP交⊙O2于点Q，

QC，QH. 连接AH，BD，QB，7 / 11

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因为AB为⊙O1的直径， 所以∠ADB?∠BDQ?90°， 故BQ为⊙O2的直径. 于是CQ?BC，BH?HQ.

又因为点H为△ABC的垂心，所以AH?BC，BH?AC.

所以AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACQH为平行四边形. 所以点P为CH的中点.

13．解：<1）如图，分别过点P，　Q作y轴的垂线，垂足分别为

C，　D.

<第12题） 设点A的坐标为<0，t），则点B的坐标为<0，-t）.

设直线PQ的函数解读式为y?kx?t,并设P，Q（xQ，yQ）（xP，yP）的坐标分别为 ,.由

?y?kx?t，?22 ?y?x，?3?得 2x2?kx?t?0，

3于是 xPxQ??3t，即 t??2xPxQ.

23<第13题） 222222xP?tx?xxxP(xP?xQ)PPQBCyP?t3x333??????P. 于是 2BDyQ?t2x2?t2x2?2xxxQxQ(xQ?xP)QPQQ3333又因为

xPC??PQDxQ，所以BC?PC.

BDQD 因为∠BCP?∠BDQ?90?，所以△BCP∽△BDQ， 故∠ABP=∠ABQ.

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<2）解法一 设PC?a，DQ?b，不妨设a≥b>0，由<1）可知

∠ABP=∠ABQ?30?，BC=3a，BD=3b，

所以 AC=3a?2，AD=2?3b.

因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ. 于是PCACa3aDQ?AD，即?2b?2?3b，

所以a?b?3ab．

由<1）中xPxQ??3t，即?ab??3，所以ab?3，a?b33222?2， 于是可求得a?2b?3.

将b?32代入y?23x2，得到点Q的坐标<32，12）.

再将点Q的坐标代入y?kx?1，求得k??33. 所以直线PQ的函数解读式为y??33x?1. 根据对称性知，所求直线PQ的函数解读式为y??33x?1，或y?33x?1. 解法二 设直线PQ的函数解读式为y?kx?t,其中t?1. 由<1）可知，∠ABP=∠ABQ?30?，所以BQ?2DQ.

故 2x2Q?xQ?(yQ?1)2. 将y?22Q3xQ代入上式，平方并整理得

4x4?15x29?0，即(4x22QQ?Q?3)(xQ?3)?0.

所以 xQ?32或3. 9 / 11

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又由 (1>得xPxQ??3t??3，xP?xQ?3k.

222若xQ?3，代入上式得 xP??3， 从而 k?2(xP?xQ)??3.

3323， 从而 k?2(xP?xQ)?3.

33233x?1，或y?x?1. 33同理，若xQ?3， 可得xP??所以，直线PQ的函数解读式为y??14．解：如图，作△ABQ，使得

则△ABQ∽△ACP . ?QAB??PAC，?ABQ??ACP，由于AB?2AC，所以相似比为2. 于是

AQ?2AP?23，BQ?2CP?4．

<第14题） ?QAP??QAB??BAP??PAC??BAP??BAC?60?.

由AQ:AP?2:1知，?APQ?90?，于是PQ?3AP?3．

所以 BP2?25?BQ2?PQ2，从而?BQP?90?． 于是

AB2?PQ2?(AP?BQ)2?28?83 .

故 S?ABC?AB?ACsin60?? 申明：

1236?73AB2?． 82所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

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