第六章非线性方程的数值解法习题解答
填空题：
1. 求方程x?f(x)根的牛顿迭代格式是__________________。 Ans:xn?1?xn?2.求解方程
(1)
xn?f(xn)1?f?(xn)
在(1, 2)内根的下列迭代法中，
(2)
(3)
收敛的迭代法是（A）.
(4)
A．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)
3.若f(a)f(b)?0，则f(x)?0在(a,b)内一定有根。 ( )
4．用二分法求方程f(x)?x3?x?1?0在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 . （答案[0.5,1]， [0.5,0.75]）
计算题：
1、已知方程x3?x2?1?0在x?1.5附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式： 1132x?1?x；②；③ x?x?1x2试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。
①x?1?解：①令?1(x)?1?32122''，则，?(x)???(1.5)??0.5926?1，故迭代收敛； 11233xx1.5'22?2'2(1.5)?0.4558?1，故迭代收敛； ②令?2(x)?1?x，则?(x)?x(1?x)3，?23③令?3(x)?11''(1.5)?1.4142?1，故迭代发散。 (x)??，则?3，?33x?12(x?1)以上三中以第二种迭代格式较好。
2、设方程f(x)?0有根，且0?m?f'(x)?M。试证明由迭代格式xk?1?xk??f(xk) (k?0,1,2,L)产生的迭代序列?xk?k?0对任意的初值x0?(??,??)，当0????2时，均收敛M于方程的根。
证明：设?(x)?x??f(x)，则?'(x)?1??f'(x)，故1?M???'(x)?1?m?，进而可知， 当0???2时，?1??'(x)?1，即?'(x)?1，从而由压缩映像定理可知结论成立。 M3、试分别用Newton法和割线法求以下方程的根
x?cosx?0 取初值x0?0.5,x1??4，比较计算结果。
解：Newton法：x1?0.75522242,x2=0.73914166,x3=0.73908513；
割线法：x2?0.73638414,x3=0.73905814,x4=0.73908515,x5=0.73908513； 比较可知Newton法比割线法收敛速度稍快。
34. 已知一元方程x?3x?1.2?0。
1）求方程的一个含正根的区间；
2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)； 3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。
解：（1）f(0)??1.2?0,f(2)?1.8?0 又f(x)连续故在(0,2)内有一个正根
(2)
x?3x?1.2,???(x)?(3x?1.2),max???(x)?3x?(0,2)?2311.223?1,?xn?1?33xn?1.2收敛(3)f?(x)?3x?3,xn?1323xn?3x?1.2 ?xn?23xn?35、用二分法求方程f(x)?x?x?1在区间[1,1.5]内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。 解：6次；x?1.32。
*6．为求方程
形式，并建立相应的迭代公式。
4）
迭代公式
附近的一个根，设将方程改写成下列等价
5） 6）
迭代公式迭代公式
试分析每种迭代公式的收敛性。 解：
7、已知何将
在区间内只有一根，而当时，试问如
化为适于迭代的形式？
将根。
化为适于迭代的形式，并求（弧度）附近的
8、能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。 （1）
（2）
第六章非线性方程的数值解法习题解答说课讲解
