32x?bx?c与坐标轴交于A，B，C三点，43点A的横坐标为?1，过点C(0，点P是线段BC上3)的直线y??x?3与x轴交于点Q，
4t的一个动点，PH?OB于点H．若PB?5t，且0?t?1．
2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线y??（1）确定b，c的值：b?_____，c?_____；
（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）：
B(___，___)，Q(___，___)，P(___，___)；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
[解] （1）b?y9 4C P A O Q HB x c?3 （2）B(4，0) Q(4t，0) P(4?4t，3t)
（3）存在t的值，有以下三种情况 ①当PQ?PB时
?PH?OB，则GH?HB ?4?4t?4t?4t ?t?1 3 ②当PB?QB时 得4?4t?5t ?t?4 9 ③当PQ?QB时，如图
解法一：过Q作QD?BP，又PQ?QB
BP5 则BD??t
22 又△BDQ∽△BOC
C P D O Q
B
?
BDBQ ?BOBC5t4?4t2 ? ?4532 ?t?
57解法二：作Rt△OBC斜边中线OE
BC5 则OE?BE，BE??，
22 此时△OEB∽△PQB
C P BEOB ? ?BQPBE 54 ?2?
4?4t5t32 ?t?
572O Q B
解法三：在Rt△PHQ中有QH?PH?PQ C ?(8t?4)?(3t)?(4?4t) ?57t2?32t?0 ?t?22222P O 32，t?0（舍去） 57 又?0?t?1
1432 ?当t?或或时，△PQB为等腰三角形．
3957HQ B
解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有
时需要综合运用。
代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析
Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直
接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。
[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的0?t?1矛盾，应舍去 3.如图1，已知直线y??11，B两点． x与抛物线y??x2?6交于A24，B两点的坐标； （1）求A（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
，B两处．用铅笔拉着这（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． y y
P B B
x O O
A A
图1 图2
x
12?y??x?6??x1?6?x2??4?4 ?[解] （1）解：依题意得?解之得?
?y1??3?y2?2?y??1x??2 ?A(6 ，?3，)B?(，4 2（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1） 由（1）可知：OA?35 OB?25 y ?AB?55
?OM?15 AB?OB?22B C Ｅ O D 图1
过B作BE⊥x轴，E为垂足
M A x
OCOM5 由△BEO∽△OCM，得：?，?OC?，
OBOE4 同理：OD?，?C?，0?，D?0，? 设CD的解析式为y?kx?b(k?0)
52?5?4????5?? 2?第26题
5?0?k?b?k?2???4 ?? ??5
5b?????b??2??25． 2（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交
1点的直线y??x?m上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）．
2 ?AB的垂直平分线的解析式为：y?2x?1?y??x?m??2 ??
1?y??x2?6??4 ?121x?x?m?6?0 422 ?抛物线与直线只有一个交点，
1?1? ?????4?(m?6)?0，
4?2??m?25?23? ?P?1，? 4?4? 在直线GH：y??125x?中， 24?25??25??G?，0?，H?0，?
?2??4?y H P B G 255 4 设O到GH的距离为d，
?GH?11?GH?d??OG?OH22125512525??d??? 24224
5?d?52?AB∥GH，?P到AB的距离等于O到GH的距离d．
O A x
图2
另解：过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h
与PC 夹角固定），则S△PBA最大 → 问题转化为求PC最大值，设P（x,
）,C
（x, ）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。
最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。
[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
10?，4?，顶点C，D在第一象4.如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为?0，?8，0?出发，沿限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E?4，x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时
间为t秒．
（1）求正方形ABCD的边长．
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P，Q两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）若点P，Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使∠OPQ?90的点P有 个．
??b4ac?b2?，（抛物线y?ax?bx?c?a?0?的顶点坐标是???． 2a4a??2
y D s 28 C A P B 20 O E Qx O 10 图②
t 图①
[解] （1）作BF?y轴于F．
?A?0，10?，B?8，4?，
?FB?8，FA?6．
?AB?10．
二次函数动点问题解答方法技巧（含例解答案）
