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2016-2017学年高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 1.1 数的概念的扩展1.2 复

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1.1 数的概念的扩展 1.2 复数的有关概念

明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.4.理解复数的几何表示.

1.复数的有关概念 (1)复数

①定义:形如a+bi的数叫作复数,其中a,b∈R,i叫作虚数单位.a叫作复数的实部,b叫作复数的虚部.

②表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi (a,b∈R). (2)复数集

①定义:复数的全体组叫作复数集. ②表示:通常用大写字母C表示. 2.复数的分类及包含关系

?实数

(1)复数(a+bi,a,b∈R)?虚数

?

(2)集合表示:

b=b??纯虚数a=?

?非纯虚数a?

3.两个复数相等

a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.

4.复数的几何意义

(1)复数z=a+bi(a,b∈R)一一,对应,复平面内的点Z(a,b); 对应→

(2)复数z=a+bi(a,b∈R)一一,――→平面向量OZ=(a,b). 5.复数的模

→→

复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为OZ,则OZ的模叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,且|z|=a+b.

2

2

[情境导学]

为解决方程x=2,数系从有理数扩充到实数;数的概念扩充到实数集后,人们发现在实数范围内很多问题还不能解决,如从解方程的角度看,例如x=-1这个方程在实数范围内就无解,那么怎样解决方程x=-1在实数系中无根的问题呢?我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?本节我们就来研究这个问题. 探究点一 复数的概念

思考1 为解决方程x=2,数系从有理数扩充到实数;那么怎样解决方程x+1=0在实数系中无根的问题呢?

答 设想引入新数i,使i是方程x+1=0的根,即i·i=-1,方程x+1=0有解,同时得到一些新数.

思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i=-1.

(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.

(3)由于i<0与实数集中a≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中很多结论在复数集中不再成立. (4)若i=-1,那么i

2

4n+1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=i,i

4n+2

=-1,i

4n+3

=-i,i=1.

4n思考3 什么叫复数?怎样表示一个复数?

答 形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,复数通常用字母z表示,即z=a+bi,这一表示形式叫作复数的代数形式,其中a、b分别叫作复数z的实部与虚部. 思考4 什么叫虚数?什么叫纯虚数?

答 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当b≠0时叫作虚数;当a=0且b≠0时,叫作纯虚数. 思考5 复数m+ni的实部、虚部一定是m、n吗?

答 不一定,只有当m∈R,n∈R,则m、n才是该复数的实部、虚部.

例1 请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数还是纯虚数.

1

①2+3i;②-3+i;③2+i;④π;⑤-3i;⑥0.

2

1

解 ①的实部为2,虚部为3,是虚数;②的实部为-3,虚部为,是虚数;③的实部为2,

2虚部为1,是虚数;④的实部为π,虚部为0,是实数;⑤的实部为0,虚部为-3,是纯

虚数;⑥的实部为0,虚部为0,是实数.

反思与感悟 复数a+bi中,实数a和b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫作复数的虚部.

跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举出例子;若不存在,请说明理由.

(1)实部为-2的虚数; (2)虚部为-2的虚数; (3)虚部为-2的纯虚数; (4)实部为-2的纯虚数.

解 (1)存在且有无数个,如-2+i等;(2)存在且不唯一,如1-2i等;(3)存在且唯一,即-2i;(4)不存在,因为纯虚数的实部为0.

m2+m-62

例2 当实数m为何值时,复数z=+(m-2m)i为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

m?m-2m=0?解 (1)当?

??m≠0??m-2m≠0,

(2)当?

?m≠0?

2

2

,即m=2时,复数z是实数;

即m≠0且m≠2时,复数z是虚数;

m+m-6??=0

m(3)当???m2-2m≠0

2

即m=-3时,复数z是纯虚数.

反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时,主要依据实部、虚部满足的条件,可列方程或不等式求参数.

跟踪训练2 实数m为何值时,复数z=纯虚数.

解 (1)要使z是实数,m需满足m+2m-3=0,且-3.

(2)要使z是虚数,m需满足m+2m-3≠0,且-3.

(3)要使z是纯虚数,m需满足

2

2

mm+

m-1

+(m+2m-3)i是(1)实数;(2)虚数;(3)

2

mm+

m-1

有意义即m-1≠0,解得m=

mm+m-1

有意义即m-1≠0,解得m≠1且m≠

mm+

m-1

=0,m-1≠0,

2016-2017学年高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 1.1 数的概念的扩展1.2 复

1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念明目标、知重点1.了解引入虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.4.理解复数的几何表示.1.复数的有关概念(1)复数①定义:形如a+bi的数叫作复数,其中a,b
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