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绝对值题型归纳总结
一、 知识梳理
模块一 绝对值的基本概念
（1）非负性：|a|?0（补充：a2?0）． （2）双解性：|a|?b(b?0)，则a??b． ?a?（3）绝对值的代数意义：|a|??0??a?(a?0)(a?0) (a?0)对应题型：绝对值的化简． 方法：判断“||”里面整体的正负性．易错点：求一个多项式的相反数． 对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数． ?a(a≥0)?a(a?0)|a|?|a|? ①a?b的相反数是?a?b； （常用）或???a(a?0)?a(a?0)??②a?b?c的相反数是?a?b?c； 变式结论：①若|a|?a，则a?0； 11③a?b?3的相反数?a?b?3． 22②若|a|??a，则a?0．
模块二 零点分段法（目的：去无围限定的绝对值题型） 零点：使绝对值为0的未知数值即为零点． 化简：|x?1|?|x?2|． 方法： ①零点为1，2，故将数轴分为3个部分，①寻找所有零点，并在数轴上表即x?1，1?x?2，x?2． 示； ②当x?1时，原式??2x?3； ②依据零点将数轴进行分段； 当1?x?2时，原式?(x?1)?(x?2)?1； ③分别根据每段未知数的围去绝对值． 当x?2时，原式?2x?3． 易错点：分类不明确，不会去绝对值． 模块三 几何意义
|x|的几何意义：数轴上表示数x的点与原点举例： .
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的距离； |x?a|的几何意义：数轴上表示数x的点与 ①|x?1|=|x?(?1)|表示x到?1的距离．②|x?1|?|x?2|表示x到?1和x到?2的距离之和． ③|x?1|?|x?2|表示x到?1和x到?2的距离之差． 常见变形： ①|x?1|?2|x?3|?3|x?4|在3?x?4数a的点之间的距离； |x?a|?|x?b|的几何意义：数轴上表示数x的点与数a、b两点的距离之和． 基本结论：令a1?a2?a3?…?an， |x?a1|?|x?a2|?|x?a3|?… +|x?an|． 时取得最小值． ②111x?1?x?1??3|x?2|?2|x?3|?236方法：直接套用几何意义画数轴． ①当n为奇数时，当x?an?12时取最小值； 在x?2时取得最小值． 2a?x?an?1②当n为偶数时，当n时取最小2③|x?1|?|x?2|既有最小值也有最大值． 值．
例题分析
题型一 绝对值代数意义及化简
【例1】 ⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )
A．若a?b，则一定有a?b B．若a?b，则一定有a?b C. 若a?b，则一定有a?b D．若a?b，则一定有a2???b? ⑵ 如果a2＞b2，则 ( )
A．a?b B．a＞b C．a?b D a＜b ⑶ 下列式子中正确的是 ( )
A．a??a B．a??a C．a??a D．a??a ⑷ 对于m?1，下列结论正确的是 ( )
A．m?1≥|m| B．m?1≤|m| C．m?1≥|m|?1 D．m?1≤|m|?1 ⑸若x?2?x?2?0，求x的取值围．
【解析】 ⑴ 选择D．⑵ 选择B．
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⑶ 我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案．易得答案为D．
⑷ 我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、0，3种数帮助找到准确答案C． ⑸ x?2???x?2?，所以x?2≤0，即x≤2．
b?2，且a?b；⑵?a?1??b?2?0，分别求a，【变1】 已知：⑴a?5，b的值 a??5，因为b?2，b??2，又因为a?b，所以a??2，【解析】 因为a?5，b??2
2即a??5，b?2或a??5，b??2
⑵由非负性可知a??1，b?2
【例2】 设a，，bc为整数，且a?b?c?a?1，求c?a?a?b?b?c的值 【解析】 因为a，，bc为整数，且a?b?c?a?1
故a?b与c?a一个为0，一个为1，从而b?c??b?a???a?c??1，原式?2
【例3】 （1）已知x?1999，则4x2?5x?9?4x2?2x?2?3x?7? ．
（2）满足(a?b)2?(b?a)a?b?ab（ab?0）有理数a、b，一定不满足的关系是（ ）
A． ab?0 B． ab?0 C． a?b?0 D． a?b?0
（3）已知有理数a、化简2a?b?2a?b?7． b的和a?b及差a?b在数轴上如图所示，
a+b-10a-b1
【解析】 （1）容易判断出，当x?1999时，4x2?5x?9?0，x2?2x?2?0，
所以 4x2?5x?9?4x2?2x?2?3x?7??10x?8??19982 这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想． （2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若a≥b时，(a?b)2?(b?a)a?b?(a?b)2?(a?b)2?0?ab， 若a?b时，(a?b)2?(b?a)a?b?(a?b)2?(b?a)2?2(a?b)2?ab，
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