八年级数学竞赛例题专题讲解：从地平面到脚手架--分式的运算
阅读与思考
分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等． 分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：
1．分步通分，步步为营； 2．分组通分，化整为零； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．拆项相消后通分； 5．恰当换元后通分， 学习分式时．应注意：
(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形；
(2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；
(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围， 例题与求解
【例1】m＝_________时，分式
(m?1)(m?3)的值为0.
m2?3m?2（杭州市中考试题）
解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式m?1就不为0．
【例2】 已知abc?1，以a?b?c?2，a2?b2?c2?3，则的值为( )．
111??ab?c?1bc?a?1ca?b?1
12 A.1 B．? C．2 D．?
23（太原市竞赛试题）
解题思路：不宜直接通分，运用已知条件a?b?c?2，对分母分解因式，分解后再通分.
【例3】计算：
112a4a3??2?4(1) 24a?ba?ba?ba?b（武汉市竞赛试题）
ab11a2?3b2?3?2?2?4 (2) 3 223223224a?ab?ab?ba?ab?ab?ba?ba?ba?b（天津市竞赛试题）
x3?1x3?12(x2?1)?3?2（3）3 22x?2x?2x?1x?2x?2x?1x?1（赣州市竞赛试题）
b2a2ba??2?22abab ?（4）3ba3bab2a2?3?3(?)?2?232ababab（漳州市竞赛试题）
解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于则xy?1，通过换元可降低问题的难度．
当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。这便是解题的分解策略．解绝对值问题时用的分类、分段讨论；解分式问题时用的分步分组通分、因式分解的分组分解法以及裂项求值等都是分解策略的具体运用.
baba
或的代数式，考虑设?x，?y，abab
【例4】求最大的正整数n，使得n3?100能被n＋10整除．
（美国数学邀请赛试题）
解题思路：运用长除法或把两个整式整除的问题转化为一个分式的问题加以解决. 类似于分数，当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化为整数部分与分式部分的和，分式的这种变形称为拆分变形，是拆项变形的一种．
【例5】已知
ab1bc1ca1abc?，?，?，求的值． a?b15b?c17c?a16ab?bc?ca（太原市竞赛试题）
111解题思路：设法求出??的值．
abc
【例6】(1)设a，b，c均为非零实数，并且ab?2(a?b)，bc?3(b?c)，ca?4(c?a)，则
a?b?c等于多少？
（北京市竞赛试题）
(2)计算：
1222?2?21?100?50002?200?5000
k2?2?k?100k?5000992?2 99?9900?5000
八年级数学竞赛例题专题讲解：从地平面到脚手架--分式的运算
