一、非简并情况：
(1)(2)?和En(1)、第n个能级的能量的一、二级微扰修正：En?Hnn?m?n?E?Hmn2(0)n(0)?Em;
(2)、波函数的一级修正：?n?(1)?Hmn(0)? ?m(0)(0)m?nEn?Em[例题1] 质量为m的粒子，在如图8.9所示的势阱
?0 0?x?a2?V(x)??A a2?x?a中运动，其中A??2?2/(80ma2)，
?? x?0,x?a?求基态能级的一级近似值。
???A (a2?x?a) [解] 由题知，本题是在一维无限深势阱中，加入微扰H未加入微扰时，基态能级和波函数分别为：E利用一级微扰修正公式得
a(0)1??2222ma，?1(0)?2asin?xa
E(1)1???0(0)*1???H(0)12?xA?2?x?dx??Asin2dx???1?cos?dxaa2aaa2?a?a22aa?A?a2?x?A?x?sin??2a?2?a???a22160ma
[例题2]、质量为m的粒子，在如图8.10所示的势阱
?x? 0?x?a?22??Asin中运动，A?， V(x)??a280ma??? x?0,x?a求基态能量的一级近似值。
????Asin[解] 由题知，本题是在一维无限深势阱中，加入微扰H未加入微扰时，基态能级和波函数分别为：E利用一级微扰修正公式得
(0)1?xa (0?x?a)
??2222ma，?1(0)?2asin?xa
1
aE(1)1???0(0)*1???(0)dx??2Asin3?xdx?2A?1?cos2?x?dcos?xH1??a?a??a?a00?aaa?2A??x13?x?8Acos?cos?????a3a?03??
[例题3]一个粒子在如图所示的一维无限深方势阱中运动， 阱内的势能V(x)从x?0处V(0)?0开始线性增加到x?a处V(a)?V0，其中V01。把阱内的势能视作对通常的无限深方势阱问题的微
扰，求在一级近似下粒子基态与第一激发态的能量。
[解] 一维无限深方势阱中运动粒子的能级和本征函数分别为 E(0)nn2?22? n?1,2,2ma2 ， ?n?2asinn?x a由图知微扰项为H???V0x (0?x?a)，由非简并微扰能级修正公式 a(1)*???(x)dx得 En???n(x)Hn???E(1)n???(x)dx?2V0x sin2?n?x?dx?V0x ?1?cos2n?x?dx???(x)Hn????2?2?aaaa??????00*naV0?a22n?x?V0?2??? xcosdx??2a?20a?aaa?a2a????22n?aa?2n?x2n?x??xsin?? sindx??????a00a???
?a2a????22n?V0a2V0?2??a22V?0a2aa?2n?xa2n?x??xsin?cos?????a2n?a00????因此，在一级近似下粒子基态与第一激发态的能量为
En?E(0)n?E(1)nn2?22V0?? n?1,2。 2ma22[例题4] 实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为R的均匀分球体。它产
?Ze?31r2????? r?R生的电势为??r???R?22R2? ，其中Ze为核电荷。试把非点电荷效应看成微扰，
?Zer r?a?
1
?Ze2?31r2?Ze2,r?R??????H???R?22R2?R。计算原子的1s能级的一级微扰修正。
?0 ,r?a?Z3?Zra[解] 类氢离子中1s轨迹电子波函数为?1s?，其中a为波尔半径。 e3?a原子的1s能级的一级修正为：E(1)1s??1sH?1s???12sH??4?r2dr
0'R由于核半径R远小于原子半径aZ，积分时可取e1)E1(s?2Zra?1，从而求出
24Z4e2?a3(0)1s?R0?r43r2?2Z4e2R24?ZR?(0)2????E1s， ?r?2R3?2R??dr?5a35?a???其中EZ2e2??为类氢离子的基态能级。
2a[例题5] 一个长度为d、两端分别带电荷?Q和?Q且质量M的均匀棒可绕其中心在一平面内转动。(1)、写出体系的哈密顿量算符、本征态和本征值；(2)、若在转动平面内存在电场强度为?的弱电场，此时的本征态和本征值将如何变化，精确到一级修正；(3)、若该电场很强，求基态的近似能量。
???[解] (1)、体系的哈密顿量为H02?21，其中I?Md2，?为棒与平面内x轴的夹角。 22I??122?2?m(?)?Em?m(?)，本征函数和能量本征值分别为 能量本征方程为?22I???m(?)?1im?e m?0,?1,?2,2?m226m22Em??2IMd2
2?????V(?)，其中V(?)??QdEcos?。 (2)、设电场???ex，则哈密顿量为H2I??22????QdEcos?和H????分为两个部分：H把V(?)视作微扰项，则可将H0?2。 22I??2?的本征函数和本征值为 未受微扰时H0 1
1im??(0)?(?)?e m?0,?1,?2,m??2? ?226m22?E(0)?m?m?2IMd2?虽然E(0)m
??m??QdE是二重简并的，但由于?mH2?2?2im?cos?ed??0，故仍利用一级非简并?0微扰论
E(1)m??m??QdE?mH2?2?(1)?cos?d??0， ?m??0?Hnm(0)?n (0)(0)E?En?mmn2???m??QdE??nHHnm2?2??cos?e0i(m?n)?QdEd???4???e0i(m?n?1)??ei(m?n?1)??d?1??QdE??m?1n??m?1n?2
?(1)m(0)(0)??m?Md3QE?ei(m?1)? ei(m?1)???m1?1?1??QdE?(0)?(0)???? (0)(0)?22E?EE?E2m?12m?1122???m?1mm?1??m因此，在精确到一级修正时，能级和波函数分别为
6m22Em?E?E? m?0,?1,?2,2Md im?3i(m?1)?i(m?1)???eMdQEe e(0)(1)?m??m??m?????22?122??2m?12m?1?(0)m(1)m(3)、若该电场很强，此时?角必再小角度范围内的几率较大，因而近似有cos??1?12?，则 2?(?)??QdEcos???QdE?1??22?，体系的哈密顿量为 V222??QdE2???H?V(?)?????QdE，这是一个谐振子方程。其基态能级为 222I??2I??22E0?11??QdE?22QEd?QdE?I3QE?QdE。 Md[例题6] 设非简谐振子的哈密顿量表为H?H0?H?，其中
d2122H0???m?x2 2mdx2H???x3 （?为实常数）2 1
用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）。
(0)(0)(0)[解] 已知H0?n(x)?En?n(x)，其中波函数为?n?Nne??22x2Hn??x?，??m?；
(0)而能量本征值为En???n?12?
由x?n(0)?x??1?(0)(0)?n??n?1?n?1n?1?得到： ?2?(0)x2?n?x??1?(0)(0)?nx??n?1x?n?1n?1??2??1?n?1??n?(0)(0)(0)(0)????n?1??n??n?1??n?2??n?2n?nn?2?? ??2??2???2??1?(0)(0)(0)??n(n?1)??(2n?1)??(n?1)(n?2)?n?2nn?2?2?2?(0)x3?n?1?(0)(0)(0)?n(n?1)x??(2n?1)x??(n?1)(n?2)x?n?2nn?2?2?2?1?(2n?1)??n(n?1)?(0)(0)(0)(0)???n?2??n?1??n??n?1??n?3n?1n?1n?1?2???2??2?2???(n?1)(n?2)(0)(0)??? ?n?2?n?1?n?3?n?3???2???1?(0)(0)(0)?nn?1n?2??3nn??3n?1n?1???????n?3n?1n?122?3????n?1??n?2??n?3??n(0)?3?利用一级微扰公式得：
(1) En?(0)*(0)(0)*3(0)???(x)H?(x)dx???(x)x?n(x)dx?0 nnn??由二级微扰修正公式En?(2)?Ek?n?Hkn2(0)k(0)n?E得
???(0)(x)dx???(0)*(x)x3?(0)(x)dx????k(0)*(x)HHknnn?k??n?n?1??n?2??k,n?3?3nn?k,n?1?3?n?1?n?1?k,n?122????n?1??n?2??n?3??k,n?3??3? 1
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