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二次函数
一、解析式的求法 一般式y?ax?bx?c?2?已知没有规律的三个点的坐标
?已知a:b:c,并且已知一个点的坐标?已知顶点及另一点的坐标?2顶点式y?a(x?m)?n?已知对称轴和另外两点的坐标
?已知最值和另外两点的坐标?两点式（交点式）y?a(x?x1)(x?x2) 二、二次函数的图像 1、二次函数的平移问题
（1）、平移的实质：a相同。（a决定二次函数的形状、开口和开口的大小，其中a决定开口的大小，a的正负决定开口方向。注意，两个二次函数的a相等，则这两个二次函数的形状就是相同的） （2）、平移的规律：顶点坐标的平移。 2、二次函数的对称变换：
?y?a(x?m)2?k与y?a(x+m)2?k关于y轴对称 ?22?y?a(x?m)?k与y??a(x+m)?k关于x轴对称3、二次函数的图像与a,b,c及其相关代数式(a?b?c,2a?b,b?4ac)之间的关系
2?开口向上?a?0aL?
开口向下?a?0??对称轴在y轴右侧?ab?0bL?
?对称轴在y轴左侧?ab?0?抛物线与y轴的交点在y轴正半轴?c?0cL?
抛物线与y轴的交点在y轴负半轴?c?0??a?b?cL看x?1时函数的值a?b?cL?
?a?b?cL看x??1时函数的值?抛物线与x轴有两个交点?b2?4ac?0?b2?4acL?抛物线与x轴有一个交点?b2?4ac?0
?抛物线与x轴没有交点?b2?4ac?0?.
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bb?2a+bL由-?1(-<1)可得??2a2a2a?bL?LL注意a的正负
?2a?bL由-b??1(-b
其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个
2D. 5个
（2）如图4所示，二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象经过点（－1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中－2< x1<－1，0< x2<1，下列结论： ①4a－2b+c<0；②2a－b<0；③a<－1；④b2+8a>4ac。 其中正确的有（ ） A．1个
B．2个
22 C．3个 D．4个
（3）如图，抛物线y?ax?bx?c与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则 ①abc # .0(填“?”或“?”)；②a的取值范围是 # .
三、二次函数的性质
①当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小；在对称轴右侧，y随x增大而增大。它有最底点，所以存在最小值，这个最小值就是当x取顶点横坐标，顶点纵坐标的值就是二次函数的最小值。
②当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大；在对称轴右侧，y随x增大而减小。它有最高点，所以存在最大值，这个最大值就是当x取顶点横坐标，顶点纵坐标的值就是二次函数的最大值。
例2、已知M,N两点关于Y轴对称，且点M在双曲线y?21上，点N在直线y?x?3上，2x设点M的坐标为(a,b)，则二次函数y??abx?(a?b)x有最大值还是最小值，那最大（小）值是多少？
四、二次函数的基本应用
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1、利润问题 例3、（1）、某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月可售出400件，根据销售经验（提高销售单价会导致销售量的减少），即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？ （2）、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）。 根据图象提供的信息，解答下列问题：
① 由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式； ② 求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； ③ 求第8个月公司所获利润是多少万元？
（3）、某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产。已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价x为元，年销售量为y万件，年获利z（年获利＝年销售额－生产成本－投资）万元。
① 试写出y与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围） ② 试写出z与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）
③ 计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？ ④ 公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元。请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内？ 2、距离(长度)问题
例4、某施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立如图的直角坐标系. ① 请直接写出点M及抛物线顶点P的坐标. ② 求出这条抛物线的解析式.
③ 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D在抛物线上,B、C在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木料AB、AD、DC的长度之和的最大值.试问:其最大值是多少?
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3、过隧道及过桥问题
例5、如图所示，隧道的截面是由抛物线和长方形构成的。长方形的宽是2米，长是8米，抛物线可用
表示。
① 一辆卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？ ② 如果该隧道内设双行道，那么这辆卡车能通过吗？
4、分段函数 例6、（1）、通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示注意力越集中）.当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．⑴当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；⑵一道数学综合题，需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36．
y 48 39 20 o51040 20x （2）、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
① 求王亮解题的学习收益量y与用于解题的 时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的 取值范围；
② 求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回 顾反思的时间x之间的函数关系式；
O O 2 x 5 ③ 王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？ 图图（学习收益总量?解题的学习收益量?回顾反思的学习收益量）
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y 4 y 2A 1x 精品文档
（3）、由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖．某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为0.1万元／台，并预付了5万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元，但不高于40万元．若一年内该产品的售价y（万元／台）与月
??0.05x?0.25(1?x?4)?(4?x?6)，一年后发现次x（1?x?12且为整数）满足关系是式：y??0.1?0.015x?0.01(6?x?12)?实际每月的销售量p（台）与月次x之间存在如图所示的变化趋势． ．．
① 直接写出实际每月的销售量p（台）与月次x之间的函数关系式； ．．．．．．
② 求前三个月中每月的实际销售利润w（万元）与月次x之间的函数关系式； ③ 试判断全年哪一个月的的售价最高，并指出最高售价； ④ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量． 五、二次函数和方程及不等式的相互关系及相互转换
函数作为代数援助几何的衍生物，起着一个桥梁作用，因此在解决函数问题时，应该注意数型结合。作为代数的主体，方程和不等式与函数之间有着密切的联系，解方程不等式问题，从实质上说，是研究相应函数的零点、正负值问题．对于函数y?f(x)，它与x轴交点的横坐标就是方程f(x)?0的解，而y?f(x)在x轴上面（下面）的部分所对应的x的取值范围就是不等式f(x)?0（f(x)?0）的解集。对于函数f(x)和g(x)，它们交点的横坐标就是方程f(x)?g(x)的解，而不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的解集反映在图像上，就是f(x)的图像在g(x)图像上面的部分所对应的x的取值范围。
例7、（1）、二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象 如图所示，根据图象解答下列问题：
①写出方程ax?bx?c?0的两个根． ②写出不等式ax?bx?c?0的解集． ③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． ④写出方程ax?bx?c??6的实数根：
⑤若方程ax?bx?c?k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围． （2）、阅读材料，解答问题．
用图象法解一元二次不等式：x?2x?3?0． 解：设y?x?2x?3，则y是x的二次函数．
2222222.
初三数学二次函数练习题复习题二次函数知识点
