第二章 2.4 2.4.1 平面向量数量积的物理背景
及其含义
提能达标过关
a·bb
1．已知下列各式：①|a|2＝a2；②|a|2＝a；③(a·b)2＝a2·b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.其中正确的有( )
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
a·b|a||b|cos θ|b|cos θ解析：选B ①a2＝a·a＝|a||a|cos 0°＝|a|2，正确；②|a|2＝|a|2＝|a|(θ为a与b的夹角)，不正确；③(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2·cos2θ(θ为a与b的夹角)，a2·b2＝|a|2·|b|2，不正确；④(a－b)2＝(a－b)·(a－b)＝a2－a·b－b·a＋b2＝a2－2a·b＋b2，正确，故选B.
a??a·
?b，则向量a与c的夹角为2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－?a·?b?( )
A．0 πC.3
a????a·
?a－?a·?b? 解析：选D ∵a·c＝a·??b??a??a·
??·＝a·a－a·(a·b)＝a·a－a·a＝0. ?b?∴a⊥c.故选D.
3．(2018·湖南岳阳高一期末)若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )
A．2 C．6
B．4 D．12 π
B．6 πD．2
解析：选C ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72，
∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.又|a|≥0，∴|a|＝6.故选C.
4．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(k a－4b)，则实数k＝( ) A．－6 C．3
B．6 D．－3
解析：选B 由题意，得(2a＋3b)·(k a－4b)＝0，即2ka2＋(3k－8)a·b－12b2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，所以2k－12＝0，解得k＝6.故选B.
5．(2019·湖南长沙长郡中学临考冲刺)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝→·→＋1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EFFG→·→＝( ) GHHE
3
A.2 3C.4
3B．－2 3D．－4
解析：选A 易知EFGH为平行四边形，连接HF，取
→·→＝EF→·→＝(EO→－OH→)·→＋OH→)＝EO→2－OH→2＝1
HF的中点为O，则EFFGEH(EO?1?3→→→→→2→2?1?3→·→＋GH→·→＝3，－?2?2＝4，GH·HE＝GH·GF＝GO－OH＝1－?2?2＝4，因此EFFGHE
2????故选A.
→|＝13，|BC→|＝5，|CA→|＝
6．(2019·福建龙岩一中高一月考)在△ABC中，|AB→·→的值是________． 12，则ABBC
5→|2＝|BC→|2＋|CA→|2，→，→〉
解析：易知|AB∴C＝90°，∴cos B＝13.又〈ABBC＝180°?5?→→→→－B，∴AB·BC＝|AB||BC|·cos(180°－B)＝13×5×?－13?＝－25.
??
答案：－25
7．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
解析：b·(a－b)＝a·b－|b|2 ＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ(θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b|≤1. 答案：[0,1]
8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝7，则a与b的夹角θ为________．
解析：∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，
3a·b1
∴a·b＝－2，cos θ＝|a||b|＝－2， 2π又θ∈[0，π]，∴θ＝3. 2π
答案：3
9．(1)已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－3
2，求a与b的夹角θ；
(2)已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．
a·b
|a|cos θ＝－3，???|b|＝－3，?
解：(1)∵?∴?3
a·b3|b|cos θ＝－，?2?＝－??|a|2，
－9
??|b|＝－3，即?－93
＝－，??|a|2
?|a|＝6，
∴? ?|b|＝3，
a·b－91
∴cos θ＝|a||b|＝＝－2. 6×3∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
(2)∵(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋11×1×cos 120°－12＝2，
|a＋b|＝
?a＋b?2＝
a2＋2a·b＋b2
＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1， ∴
?2a－b?·?a＋b?11
＝2，即向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为2.
|a＋b|
10．(2018·山东沂水一中高一期中考试)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°.
(1)求|a＋b|的值；
(2)当实数x为何值时，x a－b与a＋3b垂直？
解：(1)由已知得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝3， 所以|a＋b|＝?a＋b?2＝a2＋b2＋2a·b＝19. (2)因为x a－b与a＋3b垂直， 所以(x a－b)·(a＋3b)＝0，
即x a2＋(3x－1)a·b－3b2＝13x－30＝0， 30所以x＝13.
高中人教A版数学必修四：第2章 平面向量 2.4.1
