人教A版课标高中数学必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点教学设计

由天下分享时间：2024/9/11 18:38:27 加入收藏我要投稿点赞

《方程的根与函数的零点》素材

4.1

教

学

结

构

设

计

：

创设情境，感知概念约10分钟

零点概念的建构辨析讨论，明确概念实例尝试，归纳定理辨析应用，熟悉定理例题变式，深化拓展小结反思，提高认识约3分钟

结课布置作业，独立探究约15分钟

零点存在性定理的探究约12分钟应用与巩固（一）创设情境，感知概念 1、实例引入解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x．

意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情． 2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．填空：方程根函数 x2-2x-3=0 x1=-1，x2=3 y=x2-2x-3 x2-2x+1=0 x1=x2=1 y=x2-2x+1 x2-2x+3=0 无实数根 y=x2-2x+3 y 4 2 图象 O y 4 2 -1 1 2 3 x -2 -4 一个交点：(1,0) O y 4 2 -1 1 2 3 x -2 没有交点 O -1 1 2 3 x -2 -4 图象与x轴的交点两个交点： (-1,0)，(3,0) 问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 第 1 页方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2 y 有两个相等的实数根x1 = x2 y 没有实数根 y 函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 O x1 x2 O x x1 x O x 无交点函数的图象与x轴的交点两个交点： (x1,0)，(x2,0) 一个交点： (x1,0) 3、一般函数的图象与方程根的关系．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！

师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：y＝2x－4，y＝2x－8，y＝ln(x－2)，y＝(x－1)(x＋2)(x－3)．比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：

方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．

意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．（二）辨析讨论，深化概念． 4、函数零点．

概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为（ D ） A．(0，0)，(4，0) B．0，4 C．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D．–4，0，4 练习：求下列函数的零点：

设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．

y （三）实例探究，归纳定理．

6、零点存在性定理的探索．

问题5：在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点？ 2 探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：

1 在区间[-2，1]上有零点______；

-2 -1 O 1 2 3 4 x f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）． -1 -2 在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．

-3 y （2）观察函数的图象：

-4 ①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）． c ③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）． a O b d x 意图：通过归纳得出零点存在性定理．

7、零点存在性定理：

第 2 页

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？

（1）f(x)=log2x，x∈[1，2]；

2（2）f(x)=ex-1+4x-4，x∈[0，1]．

（四）正反例证，熟悉定理． 8．定理辨析与灵活运用

例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：

（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．（ × ）

（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点．（ × ）

（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：

y y y a O b x O a b x O a b x