圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第9章线性方程组一、选择题．1．设A是m?n矩阵，则齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充分必要条件是（）．A．A的列向量组线性无关B．A的列向量组线性相关C．A的行向量组线性无关D．A的行向量组线性相关【答案】A【解析】齐次线性方程组有零解的充要条件是r(A)?n，则矩阵A的列向量线性无关．2．已知?1,?2,?3,?4是方程组Ax?0的基础解系，则此方程组的基础解系还可选（）．A．?1??2,?2??3,?3??4,?4??1
B．与?1,?2,?3,?4等价的向量组?1,?2,?3,?4C．与?1,?2,?3,?4等秩的向量组?1,?2,?3,?4D．方程组Ax?0的四个不同的非零解【答案】B【解析】方程组的基础解系线性无关，其新基础解系只能是与原基础解系等价的四个向量．3．设A是秩为n?1的n阶矩阵，?1,?2是方程组Ax?0的两个不同的解向量，则Ax?0的通解必定是（）．1/145圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台A．?1??2B．k?1
C．k(?1??2)D．k(?1??2)【答案】D【解析】A项，通解中要有常数；BD两项，基础解系是非零向量，B项中k?1可能是零向量；C项，若?1???2，那么?1??2?0．4．设?1,?2是Ax?0的解，?1,?2是Ax?b的解，则（）．A．?1??2是Ax?0的解B．?1??2为Ax?b的解C．?1??1是Ax?0的解D．?1??2是Ax?b的解【答案】A【解析】用排除法．B项，?1??2为Ax?2b的解；C项，2???是Ax?b的解；D项，?1??2是Ax?0的解．5．设?1,?2是Ax?0的基础解系，?1,?2是Ax?b的解，则Ax?b的通解为（）．A．?1??2+?1
B．k1?1?k2?2+?1,k1,k2为任意常数C．?1??2+?1+?2D．k1?1?k2?2+?1,k1,k2为任意常数2/145圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台【答案】B【解析】要求Ax?b的通解，需先求出Ax?0的通解，可知Ax?0的通解为k1?1?k2?2，再加上Ax?b的一个特解?1即为其通解．二、填空题．?1,?2,?3是它的三个不同解，1．设四元非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵的秩为3，且?1?(2,3,4,5),?2??3?(1,2,3,4)，则该方程组的通解为_____．提示：2?2?(?2??3)是导出方程组Ax?0的基础解系．【答案】k(2,4,5,6)?(2,3,4,5)
T
T
T
T
【解析】由于2?1?(?2??3)是导出方程组Ax?0的基础解系，原线性方程组的通解即2?1?(?2??3)??1?k(2,4,5,6)T?(2,3,4,5)T．?x1?x2?0
2．齐次线性方程组?的基础解系为________．x?x?0?34??1??0?
?1??0?????
【答案】??,??
?0??1???0????1??
【解析】分别取x1??1,x3?0和x1?0,x3?1，可得该齐次线性方程组的基础解系为??1??0?
?1??0???????,??．?0??1???0????1??
3/145圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台x1?x2?x3?1?
?
3．方程组?a1x1?a2x2?a3x3?2有唯一解的充要条件是_______．?a2x?a2x?a3x?3?112233
【答案】a1,a2,a3各不相同【解析】线性方程组有唯一解的充分必要条件是r(A,b)?r(A)?3，而该方程组系数矩阵行列式值为零的充要条件是a1,a2,a3相等，所以矩阵A行列式不为零的充要条件为a1,a2,a3各不相同．?x1?x2?a1?x?x?a232??
4．线性方程组?x3?x4?a3有解的充分必要条件是_____．?x?x?a
4
?45??x5?x1?a5
【答案】?a
i?1
5
i
?0
【解析】由于线性方程组的系数矩阵的秩为5，而线性方程组有解的充要条件为r(A,b)?r(A)?5，即该线性方程组增广矩阵的秩也是5，对其进行初等变换可求得?a
i?1
5
i
?0．?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2
5．线性方程组?对任意b1,b2,?,bn都有解的充分必要条??
??an1x1?an2x2???annxn?bn
件是系数矩阵的行列式_____．【答案】D?0
【解析】若对任意的b1,b2,?,bn该线性方程组都有解，则由r(A,b)?r(A)?n，可得系数矩阵满秩，即有D?0．4/145圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台6．已知?1,?2,?,?n都是非齐次线性方程组Ax?b的解，如果c1?1?c2?2???ct?n
仍是Ax?b的解，则c1?c2???ct?_____．【答案】1【解析】由已知得A?1?b,...,A?t?b故c1?c2??+ct?1．三、计算题?033?
??
1．设A??110?，且AB?A?2B，求B．???123??
??133?
1???1
解：由AB?A?2B可得(A?2E)B?A，又(A?2E)???113?，2??11?1??
故?1
?2?
2．设A??
?0??0111?
222??
?，求方程组Ax?0的一个基础解系和通解．111?111??
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全国硕士研究生考试农学门类联考数学章节题库及详解-第九章至第十六章【圣才出品】
