DOI:10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2017.10.009
Science&TechnologyVision
科教前哨科技视界科技·探索·争鸣用高斯定理和叠加法求均匀带电球面电场强度陶进前
（北京联合大学基础课教学部，中国北京100101）
【摘要】本文利用均匀带电球面上电场存在且唯一性，构造模型，利用高斯定理求解均匀带电球面内外以及面上的电场强度。为求解该类问题，特别是面上的电场强度求解提供了一种新的方法和角度。另外，本文用场强叠加法以及矢量运算技巧，统一求解了球面内、外以及面上的电场强度。
【关键词】均匀带电球面；高斯定理；电场强度；叠加法用高斯定理求解均匀带电球面内外场强为大学物理教材中的典型问题。然而，求解球面上的场强，特别是用高斯定理求解球面上的场强并不容易[2]。本文用构造模型法系统求解带电球面的场强分布，将结果和用场强叠加原理所得结果进行了对照。
中，任意选择一点A，设OA距离为a，a
1利用高斯定理求解均匀带电球面内外的电场分布
作为电磁理论的基本方程，静电场中的高斯定理反映了电场强度通量和电荷之间的普遍关系。可表述为：通过任意闭合曲面S的电通量，等于该闭合曲面所包含的电量代数和除以ε0，而与S以外的电荷无关，可用公式表示为：
对于半径为R、带电量为q的均匀带电球面，因其场强分布的对称性，可取均匀带电球面的同心球面为高斯面，由高斯定理得出：
图1
4πr2E=1∑qi。在带电球面内，即r ε0E1=0；同理，球面外电场强E2= 0，r 上式未包含带电球面上的情况，在r=R时，电场强度有一个突变，所以无法通过两边求极限的方法求球面上的电场强度。 下面我们求解球面上的电场强度。高斯面为假想抽象面，没有面厚度。而带电球面为物理系统，其厚度为宏观上小、微观上大（和原子半径相比）。由于球面上的电场强度存在且唯一，我们不妨构造出一个简单模型，求出其结果。我们假定带电球面厚度为d，且电荷在厚度d上均匀分布。然后我们令d→0,此时，带电球面收缩于电荷厚度中心d/2处（如此选择可保证取极限前后电荷的对称中心不变）。我们取高斯面在厚度中心处。d取极限后，高斯面和带电球面重合。从上面的分析易得，取极限前后高斯面内均只有有一半的电量。由高斯定理得球面上的电场强度为：E3= →→→→→→→→→→→→→→→ ds=2π(Rcosθ)Rdθ，dq=σds，σ= q4πε0R 2 。根据对称性可知，给定的 ∑q，因此，有如下式子成立：4πε0r2环形面元上任一点到A点距离都一样，我们设环面距离A点为r，易得：→r=|→a-→R，cosα=r·a。因而： → → radE= |→·aa-→R|dq 2→→a|a-→R||a-R||→4πε0|→2 → )dθ=σsinθ(a/R-cosθ)dθdE=σ2π(Rsinθ)R(a-Racosθ3/2 223/2a4πε0a(a2+R2-2Racosθ)2ε0(a/R+1-2cosθ) R||E= σsinθ(a/R-cosθ)dθ乙2ε(aa/R+1-2||cosθ) R 0 2 2 0 →→→→→→→→→→→→→→→ π 3/2 0q 2a 计算可得：E=8πε0a q8πε0r 2。综上可得： qa>R24πε0a 0r qr=R2r8πεE=0qr>R24πε0r 以上求解过程简单，直接。显然，该方法可推广到一般情形，且具有构造法所具有的特点：结论成立所要求的条件非常显然。作为参照，下面我们用叠加法求解均匀带电球面模型。 显然，上式中的a的含义等同于方法1中的r。两种解法结果完全一致。Ｓ【参考文献】 ［1］刘景世．“均匀带电球面上的电场强度如何计算”的再讨论[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2011,20(4):32-33. ［2］蔡莉莉,张晓燕．关于均匀带电球面上电场强度的求解[J]．物理与工程,2015,25 (1):65-67. ［3］赵凯华,陈熙谋．电磁学[M]．北京:高等教育出版社,2003：24-25. 2场强叠加法 对于半径为R、球心为O，带电量为q的均匀带电球面，在空间 ［责任编辑：朱丽娜］ （上接第22页） 【参考文献】 ［1］黄廷林,李桐等.人工浮床净化城市景观水体的试验研究[J].西安建筑科技大学学报:自然科学版,2007,39(1):30-33. ［2］武海军.深圳城市河流污染治理及生态恢复的措施[J].东北水利水电，2006（9）48-49． [3]周祖光.海南省水资源现状与开发利用[J].水利经济,2004,22(4):35-38． ［责任编辑：张涛］ Science&TechnologyVision科技视界17
用高斯定理和叠加法求均匀带电球面电场强度 - 陶进前
