专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第五讲 函数与方程
答案部分
1．C【解析】函数g(x)?f(x)?x?a存在 2个零点，即关于x的方程f(x)??x?a有2 个不同的实根，
即函数f(x)的图象与直线y??x?a有2个交点，作出直线y??x?a与函数f(x)的图象，如图所示，
y321–2–1O–1–2
由图可知，?a≤1，解得a≥1，故选C． 2．C【解析】令f(x)?0，则方程a(e设h(x)??x?2x，g(x)?e又g(x)?ex?12x?1x?1123x?e?x?1)??x2?2x有唯一解，
?e?x?1，则h(x)与g(x)有唯一交点，
?e?x?1?ex?1?21ex?1≥2，当且仅当x?1时取得最小值2．
而h(x)??(x?1)?1≤1，此时x?1时取得最大值1，
ag(x)?h(x)有唯一的交点，则a?3．B【解析】当0?m≤1时，
1．选C． 21≥1，函数y?f(x)?(mx?1)2，在[0,1]上单调递减，函数my?g(x)?x?m，在[0,1]上单调递增，因为f(0)?1，g(0)?m，f(1)?(m?1)2，g(1)?1?m，
所以f(0)?g(0)，f(1)?g(1)，此时f(x)与g(x)在x?[0,1]有一个交点；当m?1时，0?函数y?f(x)?(mx?1)，在
21?1，m[0,
111
]上单调递减，在[,1]上单调递增，此时f(0)?g(0)，在[0,]无交点， mmm
2要使两个函数的图象有一个交点，需f(1)≥g(1)，即(m?1)≥1?m，解得m≥3． 选B．
4．C【解析】当x?0时，f(x)单调递减，必须满足?4a?33…0，故0?a?，此时函数f(x)在[0,??)24113上单调递减，若f(x)在R上单调递减，还需3a…．当x…0时，函数1，即a…，所以剟a334y?|f(x)|的图象和直线y?2?x只有一个公共点，即当x…0时，方程|f(x)|?2?x只有一个实数
解．因此，只需当x?0时，方程
|f(x)|?2?x只有一个实数解，根据已知条件可得，当x?0时，方程x2?(4a?3)x?
3a?2?x，即x2?2(2a?1)x?3a?2?0在(??,0)上恰有唯一的实数解．判别式
31时，??0，此时x??满足题意；令422h(x)?x2?2(2a?1)x?3a?2，由题意得h(0)?0，即3a?2?0，即a?时，方程
32x2?2(2a?1)x?3a?2?0有一个正根、一个负根，满足要求；当h(0)?0，即a?时，方程
32x2?2(2a?1)x?3a?2?0有一个为0、一个根为?，满足要求；当h(0)?0，即3a?2?0，即
323?a?时对称轴?(2a?1)?0，此时方程x2?2(2a?1)x?3a?2?0有两个负根，不满足要求；34123综上实数a的取值范围是[,]U{}．
334??4(2a?1)2?4(3a?2)?4(a?1)(4a?3)，当a?5．A【解析】y=cosx是偶函数且有无数多个零点，y=sinx为奇函数，y=lnx既不是奇函数又不是偶
函数，y=x+1是偶函数但没有零点．故选A．
6．D【解析】由韦达定理得a?b?p，a?b?q，则a?0,b?0，当a,b,?2适当排序后成等比数列时，?2必为等比中项，故a?b?q?4，b?等差中项时，2a?24．当适当排序后成等差数列时，?2必不是等差中项，当a是a4?2，解得a?1，b?4； a84当是等差中项时，?a?2，解得a?4，b?1，综上所述，a?b?p?5，
aa所以p?q?9，选D．
???2?2?x,x?0?2?x,x?2,7．D【解析】由f?x???得f(2?x)??， 22x?0??x,???x?2?,x?2,?2?x?x2,x?0?0?x?2， 所以y?f(x)?f(2?x)??4?x?2?x,?22?2?x?(x?2),x?2?
?x2?x?2,x?0?0?x?2， 即y?f(x)?f(2?x)??2,?x2?5x?8,x?2?y?f(x)?g(x)?f(x)?f(2?x)?b，所以y?f?x??g?x?恰有4个零点等价于方程f(x)?f(2?x)?b?0有4个不同的解，即函数y?b与函数 y?f(x)?f(2?x)的图象的4个公共点，由图象可知
7?b?2． 4yOx
8．A【解析】由A知a?b?c?0；由B知f?(x)?2ax?b，2a?b?0；由C知
4ac?b2bb?3； ，则f(?)?3，则f?(x)?2ax?b，令f?(x)?0可得x??4a2a2a?a?b?c?0?2a?b?0?a?5???由D知4a?2b?c?8，假设A选项错误，则?4ac?b2，得?b??10，满足题意，故A结论错
?3??c?84a????4a?2b?c?8误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A． 9．B【解析】如图所示，方程
f(x)?g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，
结合图象可知，当直线y?kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线y?x?1的斜率时符合题意，故选
1?k?1． 2y54321(2,1)g(x)=kxf(x)=|x-2|+1x12345O
10．C【解析】∵f(1)?6?log21?6?0，f(2)?3?log22?2?0，
f(4)?31?log24???0，∴f?x?零点的区间是?2,4?． 2211．A【解析】g(x)?f(x)?mx?m在(?1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数
y?f(x)的图象与函数y?m(x?1)的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数
?1?3,x?(?1,0]?，和函数y?m(x?1)的图象，如图， f(x)??x?1??x,x?(0,1]
当直线y?m(x?1)与y?1?3,x?(?1,0]和y?x,x?(0,1]都相交时 x?1110?m≤；当直线y?m(x?1)与y??3,x?(?1,0]有两个交点时，
2x?1?y?m(x?1)1?由?，消元得?3?m(x?1)，即m(x?1)2?3(x?1)?1?0， 1x?1y??3?x?1?化简得mx?(2m?3)x?m?2?0，当??9?4m?0，即m??29时直线 41?3,x?(?1,0]相切，当直线y?m(x?1)过点(0,?2) x?1991时，m??2，所以m?(?,?2]，综上实数m的取值范围是(?,?2]?(0,]．
442212．D【解析】当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)?x?3的根，由x?3x?x?3，解得x?1或3；
y?m(x?1)与y?当x?0时，由f(x)是奇函数得?f(x)?f(?x)?x?3(?x)，
2即f(x)??x?3x，由f(x)?x?3得x??2?7（正根舍去）． 213．A【解析】f'(x)?3x?2ax?b，x1,x2是方程3x?2ax?b?0的两根，
22由3(f(x))?2af(x)?b?0，则又两个f(x)使得等式成立，
2x1?f(x1)，x2?x1?f(x1)，其函数图象如下：
yy=x2f(x1)=x1x
如图则有3个交点，故选A.
14．A【解析】由a?b?c，可得f(a)?(a?b)(a?c)?0，f(b)?(b?c)(b?a)?0，
Of(c)?(c?a)(c?b)?0．显然f(a)?f(b)?0，f(b)?f(c)?0，
所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点，故选A．
15．B【解析】二次函数g?x??x2?4x?5的图像开口向上，在x轴上方，对称轴为
x?2，g(2)?1； f(2)?2ln2?ln4?1．所以g(2)?f(2)，从图像上可知交点个数为2．
1，由图象法可知f?x?有两个零点． x2117．B【解析】因为f(x)在[0,??)内单调递增，又f(0)??1?0,f(1)??0，
216．B【解析】令f?x??0，可得log0.5x?所以f(x)在[0,??)内存在唯一的零点．
18．C【解析】f(x)?0，则x?0或cosx2?0，x2?k???2,k?Z，又x??0,4?，
k?0,1,2,3,4所以共有6个解.选C．
19．B【解析】由题意f(?x)?f(x)知，所以函数f(x)为偶函数，所以
f(x)?f(2?x)?f(x?2)，所以函数f(x)为周期为2的周期函数，
且f(0)?0，f(1)?1，而g(x)?|xcos(?x)|为偶函数，
且g(0)?g()?g(?)?g()?0，在同一坐标系下作出两函数在[?,]上的图像，发现在[?,]内图像共有6个公共点，则函数h(x)?g(x)?f(x)在[?,]上的零点个数为6，故选B．
121232132213221322
高考理科数学专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程答案
