2020年中考数学专题复习隐形圆系列之最大张角学案

由天下分享时间：2024/10/8 11:37:27 加入收藏我要投稿点赞

隐形圆系列之最大张角

问题背景：

1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个十分有趣的问题：在地球表面的什么位置，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？因此最大视角问题又称为“米勒问题”。

米勒问题：(最大张角题目条件和问题)

已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，点C在何处时，∠ACB最大？

米勒定理（最大张角）：已知点A、B是角MON的边ON上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。此时有OC2=OB×OA（△OBC∽△OCA）解决它的理论依据:

1.同弧所对的圆周角相等；

2.圆外角＜圆周角＜圆内角（同弧所对）接下来我们给予证明：

证明：设C'是边OM上不同于点C的任意一点，连接AC'，BC'，设BC'交圆于点H，则∠ACB=∠AHB,∠AHB＞∠AC'B ∴∠ACB＞∠AC'B

典型1:

如图，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(5，0)，点P是该直角坐标系内的一个动点．当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求出点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由．

解析：这是一道张角最大问题(米勒视角问题）由上面的米勒定理可知，要使∠APB最大，只需△APB的外接圆与y轴相切，此时，∠APB最大。

当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，此时∠APB最大．那么如何确定○E呢？

我们知道确定圆的条件是：圆心和半径；只要确定了圆的圆心和半径，圆即确定；

∵圆经过A、B两点，则圆心，必在线段AB的中垂线上；又知圆与y轴相切，圆心距y轴的半径=OH长点A在圆上，点A距圆心的距离=OH

以点A为圆心，OH长为半径画弧交AB中垂线于点E，则点E即为所求的圆心。半径即为EA

理由：连接EA，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，

易得：∠APB＝∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大． ∵A(1，0)，B(5，0)，则AB=4，AH=2，

sin∠AEH=AH/EA=2/EP

当EA最小即EP最小时，sin∠AEH最大，∠AEH最大， ∴当○E与y轴相切时，∠APB最大。 ①当点P在y轴的正半轴上时， ∵⊙E与y轴相切于点P， ∴PE⊥OP，

∵EH⊥AB，OP⊥OH，

∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°， ∴四边形OPEH是矩形， ∴OP＝EH，PE＝OH＝3， ∴EA＝3，

∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3， EH=√5=OP,∴点P（0，√5） ②当点P在y轴的负半轴上时，由对称性可知，点P2（0，-√5）

综上，点P在y轴上运动时，当∠APB最大，则点P坐标为（0，√5），（0，-√5）

方法二：（弦切角定理---切割线定理） ∵○E与y轴相切于点P，可得PK⊥OP，则∠KPA+∠APO=90°，又PK为○O的直径

∴∠PAK=90°，得∠APK+∠K=90°， ∠APO=∠K=∠PBO

∠POA=∠BOP=90°，△AOP∽△POB 可得OP2=OA×OB 可得OP=±√5

（学生在运用这两个定理时，注意要进行证明）归纳方法：第一步作图：当两定点与动点构成的三角形外接圆与动点运动轨迹相切时，角度最大。注意：确定圆（外接圆）的条件：圆心和半径；第二步：把所求圆周角转化圆心角进行证明；

第三步计算：构造切割模型证明相似。可得，OP2=OA×OB 典型2: 【问题探究】

（1）如图1，AB是○O的弦，直线l与○O相交于点M、N两点，M1，M2是直线l上异于点M，N的两个点，则∠AMB,∠AM1B，∠AM2B的大小关系是____（用＞号连接）（2）如图2，AB是○O的弦，直线L与○O相切于点M，点M1是直线l上异于点M的任意一点，请在图2中画出图形，试判断∠AMB，∠AM1B的大小关系，并说明理由。（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点A（2,0），B（8,0），点P是y轴上的一个动点，当∠APB最大时，求点P的坐标。【解决问题】

（4）某游乐园的平面图如图4所示，场所保卫人员想在线段OD上的点M处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠AMB最大。已知：∠DOC=60°，OA=400米，AB=200√3米，问在线段OD上是否存在一点M，使得∠AMB最大，若存在，请求出此时OM的长和∠AMB的度数，如果不存在，请说明理由。

解析（1）：

同弧所对的“圆内角＞圆周角＞圆外角” 易得，∠AM1B＞∠AMB＞∠AM2B

解析（2）：如图所示，∠AM1B即为所求，

理由：连接BR,则∠AMB=∠ARB ∠ARB＞∠AM1B

∠AMB=∠ARB＞∠AM1B

解析（3）：（学生训练，方法同上）

解析（4）：这一问又是视角最大问题。按照上面归纳的方法进行

第一步：作图，当过点A、B的○E与OD相切于点M时，∠AMB最大。问题是如何确定圆呢？

我们知道，确定圆的条件是：圆心和半径；只要圆心和半径确定，则圆即确定 ∵点A、B在圆上，∴圆心必在线段AB的中垂线上，

过点A作AT⊥OD于T，过点A作AT的垂线交AB中垂线于点E ∵圆与OD相切，所以EM⊥OD，易得四边形AEMT是矩形；同时点A在圆上,AE=ME，∴点E即为圆的圆心，半径即为AE 易得四边形AEMT为正方形

第二步：简要说明理由，连接EA，EB，过点E作EH⊥AB于点H ∵AB=200√3，则AH=BH=100√3 易得∠AMB=∠AEH

在RT△AEH中，sin∠AEH=AH/AE=100√3/AE 当AE最小，即ME最小时，∠AEH最大， ∴○E与OD相切，∠AMB最大第三步：计算；