探索型问题
一、选择题
1．(2010·株洲)如图所示的正方形网络中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9 答案 C
解析 如图，可知符合题意的点C有8个．
2．(2010·重庆)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是( )
A．图① B．图② C．图③ D．图④ 答案 B
解析 本题考查分析想象能力．由题意可知，45°×8＝360°，当转动的矩形绕中心旋转8次后回到原位置，据此可得第10次旋转后的图形与图②相同． 3.若正比例函数的图象经过点(－1,2)，则这个图象必经过点( )
A．(1,2) B．(－1，－2) C．(2，－1) D．(1，－2) 答案 D
解析 设y＝kx的图象过点(－1,2)，则2＝－k，k＝－2，y＝－2x，又当x＝1
时，y＝－2×1＝－2，选D.
4．如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色L形由3个正方形组成，第2个黑色L形由7个正方形组成，…，那么第6个黑色L形的正方形个数是( )
A．22 B．23 C．24 D．25
4
答案 B
解析 黑色L形与组成的正方形的个数如下表所示. 1 2 3 4 …… n 3 7 11 15 …… 4n－1 当n＝6时，4n－1＝4×6－1＝23.故选B. 3
5．(2011·潜江)如图，已知直线l：y＝x，过点A(0,1)作y轴的垂线交直线
3
l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为( )
A．(0,64) B．(0,128) C．(0,256) D．(0,512) 答案 C
解析 易求A(0,1)，A1(0,4)，A2(0,16)……，而21＝1,22＝4,24＝16……，所以
28＝256，点A4的坐标为(0,256)． 二、填空题
6．(2010·鄂尔多斯)如图，用小棒摆出下面的图形，图形(1)需要3根小棒，图形(2)需要7根小棒，……，照这样的规律继续摆下去，第n个图形需要__________根小棒(用含n的代数式表示)．
答案 4n－1
解析 图形(1)有小棒3＝4×1－1；图形(2)有小棒7＝4×2－1；图形(3)有小棒
11＝4×3－1；……；图形(n)有小棒4×n－1，即4n－1.
7．(2011·肇庆)如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n(n是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是 __________.
答案 n(n＋2)
解析 第1个图形需黑色棋子2×3－3个，第2个图形需黑色棋子3×4－4
个，……，则第n个图形需黑色棋子个数是(n＋1)(n＋2)－(n＋2)＝n2＋2n＝n(n＋2)．
8．(2010·宿迁)如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．
4
答案 32
解析 如图，设C′B′与AB交点为G′，与AD交点为H′，FC′与AD交点为W′，
则这三个点关于折痕EF对称的点分别为G、H、W，由翻折的性质“对应边相等”，得BE＝EB′，BG＝B′G′，GH＝G′H′，HC＝H′C′，CW＝C′W′，FW＝FW′.
∴①、②、③、④四个三角形的周长之和等于正方形的周长＝4×8＝32. 9．(2011·菏泽)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是______．
答案 158
解析 根据左上角0、2、4、6、8、10可知最后一个正方形是第6个正方形，阴
影部分应该是12、14，所以m＝12×14－10＝158.
10．(2011·东莞)如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形
AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3) 中阴影部分；如此下去，则正六角星形AnFnBnDnCnEn的面积为_______．
1 4n解析 正六角星形AFBDCE与正六角形A1F1B1D1C1E1相似，且相似比为2，所以正
?1?21
六角星形A1F1B1D1C1E1的面积是1×??＝，依此类推，正六角星形A2F2B2D2C2E2
?2?4
1?1?211
的面积是×??＝2，……，所以正六角星形AnFnBnDnEn的面积是n. 4?2?44
三、解答题 答案
4
111111
11．(2011·成都)设S1＝1＋2＋2，S2＝1＋2＋2，S3＝1＋2＋2，…， Sn＝1
122334
11＋2＋.设S＝S1＋S2＋…＋Sn，求S的值 (用含n的代数式表2n（n?1）示，其中n为正整数)．
11?2111?12
?解 Sn＝1＋2＋＝1＋＋2×＝1＋（）＋2??n（n?1）n(n?1)n(n?1)?nn?1?112×＝（1?）2.
n(n?1)n(n?1)1??1??1??1?＋?1＋?＋?1＋?＋…＋（1?∴S＝?1＋）＝n×1＋1×2??2×3??3×4??n(n?1)11?1
＋＋＋…?
?1×22×33×4
2
1?n?1n(n?1)?nn＋2n?＝n＋+＝n＋?1－＝＝. n＋1?n＋1n＋1?n(n?1)n?112．(2011·鸡西)在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，
取FD的中点G，连接EG、CG，如图1，易证 EG＝CG且EG⊥CG.
(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；
(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
解 (1)EG＝CG，EG⊥CG.
(2)EG＝CG，EG⊥CG.
证明：如图，延长FE交DC延长线于M，连接MG. ∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°， ∴四边形BEMC是矩形．∴BE＝CM，∠EMC＝90°. 又∵BE＝EF，∴EF＝CM.∵∠EMC＝90°，FG＝DG，
1
∴MG＝FD＝FG.∵BC＝EM ，BC＝CD，∴EM＝CD.
2
又∵EF＝CM，∴FM＝DM.∴∠F＝45°.又∵FG＝DG，
1
∴∠CMG＝∠EMC＝45°.∴∠F＝∠GMC.∴△GFE≌△GMC.
2
4
∴EG＝CG ，∠FGE＝∠MGC.∵∠FMC＝90°，MF＝MD，FG＝DG， ∴MG⊥FD，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°， 即∠EGC＝90°.∴EG⊥CG. 13．(2011·苏州)已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点．
(1)如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
(2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3)，边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形)．”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
(3)如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由．
解 (1)令y＝0，由a(x－6x＋8)＝0解得x1＝2，x2＝4；
令x＝0，解得y＝8a.
∴点A、B、C的坐标分别是(2,0)、(4,0)、(0,8a)， ∴OA＝2，
该抛物线对称轴为直线x＝3.
如图③，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM＝1.
2
由题意得O′A＝OA＝2，
∴O′A＝2AM，∴∠O′AM＝60°. ∴∠OAC＝∠ O′AC＝60°.
3
∴OC＝3·AO＝2 3，即8a＝2 3，∴a＝.
4
(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点，结果同样成立．
(i)如图④，设P是边EF上的任意一点(不与点E重合)，连接PM.
4
∵点E(4,4)、F(4,3)与点B(4,0)在一直线上，点C在y轴上， ∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB. 又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB， ∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此时线段PA、PB、PC、PD不可能构成平行四边形． (ii)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，
∵点F的坐标是(4,3)，∴点G的坐标是(5,3)． ∴FB＝3，GB＝10，∴3≤PB＜10. ∵PC≥4，∴PC＞PB.
又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB， ∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此时线段PA、PB、PC、PD不可能构成平行四边形．
(3)存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能够成平行四边形)．
如图⑤，∵点A、B是抛物线与x轴的交点，点P在抛物线对称轴上，
∴PA＝PB.∴当PC＝PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成平行四边形． ∵点C的坐标是(0,8a)，点D的坐标是(3，－a)，点P的坐标是(3，t)， ∴PC2＝32＋(t－8a)2，PD2＝(t＋a)2，
由PC＝PD得PC2＝PD2，∴32＋(t－8a)2＝(t＋a)2， 整理得7a2－2ta＋1＝0，∴△＝4t2－28. ∵t是大于3的常数，∴△＝4t2－28＞0，
2t±4t2－282
∴方程7a－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根a＝＝
14
t±t2－7
7
，显然，a＝
t＋t2－7
7
＞0，满足题意．
∴当t是一个大于3的常数时，存在一个正数a＝
t＋t2－7
7
，使得线段PA、
PB、PC、PD能构成平行四边形．
4
探索型问题
