2019-2020年高中奥数《平面几何图形集》竞赛辅导专家精品讲
义教案
一.基本图形与基本结论
用综合法解平几题，一般可先问：发现了什么基本图形
（每个平几题都有涉及的基本图形与基本结论！
?
:
）
?有什么基本结论可以利用么
从（几十个）基本图形、基本结论入手
1. (三角形的内切圆、旁切圆的性质)
B
B
基本
K
J
C
D
K
图形：三
A
PL
J
C
MTD
L
P
A
角形的.
内切圆、旁切圆，及其在边上的切点
2AM＝AB＋AC＋BC＝2
基本结论一: 三角形内切圆的性质（可用
a、b、c表出与切点有关的诸线段
.）
p；2AG＝AB＋AC－BC；GM＝BC等. [参练习1图]
F为旁切圆的切点，
基本结论二：三角形内切圆与旁切圆性质：若D为内切圆的切点，则有BD＝CF＝CM＝
p－b；S＝pr；S＝（AB＋AC－BC）rA÷2等. [参练习1图]
)
2.(圆与弧、角，三角形五心的性质
G
A
A
D
C
E
B
O
D
C
O
I
E
B
I
基本图形：三角形及其外接圆，外心，内心.基本结论三: 三角形角B平分线与其外接圆的交点∠BIC＝90°＋
G有性质: GI＝GA＝GC；
12
∠A ；∠BOC＝2∠A；
abc＝4RS等．
基本结论四:顺向全等的三角形保角顺向全等的三角形（如定义:
，即对应边的夹角保持相等．
A
△ADE与△GOI）的
.
两三角形全等；且对应顶点的排列顺序相同顺向全等三角形的判定：两三角形全等；各对应边的夹角同为锐角或钝角
.
Q
3. (圆与幂，证两线垂直的新法)
与圆的幂，与证线段垂直有关的问题！
基本结论五: 一点关于一圆的幂：PR·PC＝PO－r. 基本结论六: 两线垂直的条件AO⊥PQ
AQ－AP＝OQ－OP.
2
2
2
2
2
2
P
MB
R
N
C
O
4.(圆、平行线与角，证一角为锐角或钝角的方法，射影定理的引伸)
S
S
B
R
BR
K
I
C
L
M
K
I
C
A
M
L
A
基本结论七: 一角为直角、锐角、钝角的条件当CH⊥AB时，
∠BCA为直角∠BCA为锐角∠BCA为钝角
CH＝AH·BH；CH＞AH·BH；CH＜AH·BH.
2
222
要证∠RIS是锐角,只要证:BI⊥SR，BI＞BS·BR.
证一角为锐角的三种方法：利用斜率；余弦定理；及射影定理之逆．
※5.（多圆与等幂轴，即根轴的性质）
一个与圆的根轴有关的问题．的直线．
基本结论八: 两圆相交，根轴就是公共弦所在的直线；两圆相离，四条公切线的中点在根轴上．
由任意点P到两圆O、O的切线PE、PF，有PE－PF=2PH×OO. （PH垂直于根轴，H为垂足.PE＞PF.）
1
2
2
1
根轴，是对两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线
A
A1
H
P
F
S
OT
O1
D
C
O
D1B1
Bl
E
O1
※6．（三角形诸要素间的关系）
基本结论九：三角形的内半与外半
r＝4RsinA22b
c
p
A2
sin
c
B2
；
sin
C2
； 2r
≤R；
基本结论十：三角形的角
sin
ta＝
＝
bpbc
三角形的角平分线
bcppa＝
2bcb
c
cos
A2
．
二. 常用的辅助线添法
用综合法解平几题，关键常是：要添好适当的辅助线！这样添辅助线，你是怎么想到的中想出来的?
想法与添线：从条件、结论及准备想用的证法中，形成的想法．
? 是从什么情境
M
A
N
7.(对称添线，从结论想到的)
F
A
F
P
E
P
E
B
DC
B
D
C
E1
考虑到∠ADE＝∠ADF，为了把DE与DF拉直！用三角形不等式证明线段的不等关系作出E点关于BC的对称点E，使新四线段可能还要利用塞瓦图景！
1
CE、CF、DE、DF大致能形成一个三角形
11
.．
8.(平移添线，使分散的线段BE、CF、AD集中到一处)
A
A
G
D
I
J
B
C
E
P
F
B
E
D
C
F
把线段EB、FC平移到DI、DJ处，与AD集中在一个四边形
AIDJ中！
四边形的托勒
于是，欲证不等式的方向正与托勒密不等式的方向相同，可能用
密定理证线段的不等关系么？．
P
9.(旋转添线，构造全等形)
A
A
E
E
G
F
G
F
B
D
C
B
M
D
两个结论，证明了一个，另一个即
“同理可证”．
考虑到圆内接四边形的外角的性质及条件BC＝CD！
绕着C点旋转图形的一部分：把△CDF转到△CBH处！这就增多了
C
H
相等线段、相等角，与比例线段、平行线等．可以一试！
※10.(距离比,三角法)
B
P
A
Q
S
U
T
PX
ZQ
U
A
WS
D
C
R
C
先证A、C、U共线（余仿此！）.考察相交线形成的角的图景边形形成的图景．
利用锐角三角函数，比例线段与相似形．注意到
RY
：即APUS与CRUQ两个四
AP＝AS；CR＝CQ等．
A
※11．(由要用的证法想到了辅助线)
有多种证法！一种想法是：欲利用
三圆的等幂轴共点
的性质
来证．这就要：构造出三个适当的圆，使三条对角线恰好为每两个圆的一条等幂轴．——想法引导出辅助线的一例．
QCBR
U
FP
E
T
SD
三.常用方法
平几题有多种非纯几何证法！这也反映了平几与数学各科的紧密联系与优势．三角法,向量法,代数法, 解析法，面积法等
C
12.(三角法, 充要条件)
三角法的要点是；设定能确定本问题情境的几个基本量后，使重要的相关量都能示出来．
基本量:R、α（∠ACD）、β（∠BCE），再
用基本量表
P
Q
A
B
D
E
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