全国教师资格笔试高分攻略(高中数学学科)

《数学学科知识与教学能力》

（高级中学）

一、考情综述

（一）考试时间、题型及相关内容

考试时间：学科专业知识 120 分钟；考试题型：单项选择题（8 道题）、填空题（5 道题）、解答题（1 道题）、论述题（1 道题）、案例分析题（1 道题）、教学设计题（1 道题）；满分 150 分.

2016 年教师资格证考试高中数学考试内容及要求为：

学科知识：数学学科知识包括大学专科数学专业基础课程（数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计）、高中数学课程中的必修内容和部分选修内容。

课程知识：了解高中数学课程的性质、基本理念和目标。熟悉《课标》所规定的教学内容的知识体系， 掌握《课标》对教学内容的要求。能运用《课标》指导自己的数学教学实践。

教学知识：掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式。掌握数学教学评价的基本知识和方法。

教学技能：（1）教学设计（2）教学实施（3）教学评价 1.近两年考试大纲各模块所占分值

近两年考试大纲各模块分值比重一览表

内容 高中教学 大学数学 教材教法 合计 年份 2015 年上半年 39 27 84 150 2015 年下半年 12 49 89 150 2016 年上半年 14 47 89 150 2016 年下半年 17 49 84 150 从表格中可以分析出高中部分的数学专业知识所占比例在变小，大学数学专业知识所占比例在增加， 教材教法所占分数基本持平，其中数学专业知识和教材教法每年的比重大概是 2:3 左右，希望考生在复习时加大对教材教法的重视，对于相应所考学段的教学设计和案例分析题目加强训练。

2.2016 年上半年教师资格证考试·高中《数学专业知识》真题分析

（1） 各章节占分比例——学科知识部分

模块 学 科 具体章的名称 题型 论述 教学 设计 17 总分值 试卷占比 11.3% 单选 导数（高中） 统计与概率（高中） 2×5 简答 1×7 解答 论述

1

专业知识 极限与连续 级数 空间解析几何 矩阵 线性方程组 合计 2×5 1×5 2×5 35 1×10 1×7 1×7 21 10 20 5 17 7 66 13.3% 3.3% 11.3% 4.7% 44% 从表格中可以看出，学科专业知识主要考查的是高中、大学知识，大学知识所占比例很大，题型类似高等代数、数学分析、解析几何等大学教材的书后复习题。

（2） 教材教法部分

模块 具体章 题型 案例分析 1×30 15 20 30 教学设 计 总分值 试卷占比 单选 简答 1×7 5 解答 论述 基础教育课 程改革 义务教育数 教材教法 学课程改革 高中数学课 程改革 教学知识 中学数学课 堂教学设计 教学评价 合计 10 1×7 1×5 7 4.7% 1×15 14 1×20 40 37 26.7% 24.7% 13% 84 二、经典例题

（一）各模块深度解读

1.历年考情演变——高中

（1） 历年考点分布

单选题 年份 题型 5×5 分 1×5 分 简答题 解答题 论述题 案例分析题 教学设计 题 2015 年上半年 2015 年下半年 2016 年上半年 2016 年下半年 2×7 分 1×7 分 2×7 分 2×7 分 根据表格可以分析出：高中数学知识主要出现在试卷的单项选择题和简答题当中，分值固定，单项选择题为每题 5 分，简答题为每题 7 分，其中连续三次考试简答题中都考查了统计与概率部分的知识，考生在复习时要注意。单项选择题部分考点比较广泛，需要考生全面复习。

（2） 重点知识备考

统计与概率——离散型随机变量的均值与方差

2

1. 离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量 X 的分布列为

X P （1） 均值

x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 称 EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

（2） 方差

称 DX＝E（X－EX）2 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度. 2.均值与方差的性质 （1）E（aX＋b）＝aEX＋b.

（2）D（aX＋b）＝a2DX.（a，b 为常数） 3.二项分布的均值、方差

若 X～B（n，p），则 EX＝np，DX＝np（1－p）.

（3） 经典真题解析

【2016 下半年，6】设?为离散型随机变量，取值?a1, a2 ,?, ak ? ( a1, a2 ,?, ak 两两不同)，已知事件 ? ? a k ?的概率为 ?? ?p ???

k

? E ，则?的方差是（ pk ? 1, 0 ? pk ? 1??.记?的数学期望为

??? k ?1

n

）

A. C.

???a

k ?1 n

k

k ?1

n

k

? E ? pk ??

k

2

B.

??ak ? E ? pk

2

n

? a? E p? n D． ??

2

a? E p?? ?k ?? ?k

? k ?1 ??

n

2

k ?1

n

ak pk ，故方差 D ? x ? ? ??E ? ak ??pk 。 【答案】B。解析：由题意得离散型随机变量期望为 E ? ?

k ?1

k ?1

2. 历年考情演变——大学 （1） 历年考点分布

单选题 年份 题型 2×5 分 5×5 分 6×5 分 5×5 分 简答题 解答题 论述题 案例分析题 教学设计 题 2015 年上半年 2015 年下半年 2016 年上半年 2016 年下半年 1×7 分 2×7 分 1×7 分 2×7 分 1×10 分 1×10 分 1×10 分 1×10 分 根据表格可以分析出：大学数学知识主要出现在试卷的单项选择题、简答题、解答题当中，分值固定， 单项选择题为每题 5 分，简答题为每题 7 分，解答题为每题 10 分。其中连续三次考试单项选择题中都考查了极限和空间解析几何部分的知识，考生在复习时要注意。单项选择题考查的其他考点大学知识的考点比较分散，例如：级数、线性方程组、矩阵的变换等等，望考生复习全面。

（2） 重点知识备考

数列极限的运算法则：如果 lim an ? A, lim bn ? B ，那么

n??

n???

3

① lim(an ? bn ) ? lim an ? lim bn ? A ? B ；② lim(an ? bn ) ? lim an ? lim bn ? A ? B ；

n???

n???

n???

n???n???n???

?

?

?

an

③ lim

n??

lim an ? n??

lim b n

n???

??

A

。 (B ? 0) ;④ lim(can ) ? c lim an ? cA （c 为常数）

n???

n???

bn

B

?

特殊数列的极限：① lim C ? C （C 为常数）；② lim an ? ?

?

???

?

n???

?0( a ? 1),

?1(a ?1), ?不存在（ a ? 1或a ? ?1) ??

；

?

???

n???

③ lim ? 0 （ a ? 0 的常数）；④ ?

n?? a

1

k k?1

n?0(当k ? l时),

??

?? ? ak ? a0

an ? an ? (当k ? l时), lim 0 l 1l?1 ??bn?? bn ? bn ?? ? bl ? 0 0 1

??不存在（当k ? l时）

函数极限的运算法则

如果 lim f ( x) ? A, lim g( x) ? B （ a 可以是具体的 x x , x 0

0, 0 x?a

x?a

? ?

, ??, ??, ? ），那么

x?a

lim[ f (x) ? g (x)] ? A ? B ；② lim[ f (x)g(x)] ? AB ；③ lim ① x?a

f (x) A ? (B ? 0) ;

x?a g(x) B

④当 C 是常数， n ? N? ， lim[Cf (x)] ? C lim f (x), lim[ f (x)]n ? [lim f (x)]n

x?a

x?a x?a x?a

两个重要极限和等价无穷小

1 1 ? ?sin x ? 1 ?， lim ?1 ????? e （或lim(1 ? x) x ? e ）lim （ 1 ） x?0 x?? ?x x?0 x ????

x

?

等价无穷小替换：当 x ? 0 时，sin x ~ x ~ arcsin x ， tan x ~ x ~ arctan x ，ex ?1 ~ x ~ ln(1? x) ，

2

(1? x)a ?1 ~ ax ax ~ 1 ? x ln a ，1? cos x ~ x ，

1

2

（3） 经典真题解析

【2016 上半年，1】极限lim( A．0

B．1

2 ? x 1?2 x

的值是（ )x?? 1? x

C． e

）

D． e

2

? 1 ?1? 2 x

【答案】D。解析： ? lim ?1 ???2 x? 2?1 lim 2 ? x ? ?? ??x?? 1 ? x ?x?? ?1 ? x ?

? ? ? ??

?

3. 历年考情演变——教材教法 （1） 历年考点分布

?? 1 x?1 ?2

2?1 ? ????? e ? ??

? 1 ? lim ?1 ? x ??? 1 ????x????1 ???

?????1 ? x

? e2

??单选题 年份 题型 1×5 分 1×5 分 2×5 分 简答题 解答题 论述题 案例分析题 教学设计 题 2015 年上半年 2015 年下半年 2016 年上半年 2×7 分 2×7 分 2×7 分 1×15 分 1×20 分 1×15 分 1×20 分 1×20 分 1×20 分 1×30 分 1×30 分 1×30 分

4

2016 年下半年 1×5 分 2×7 分 1×15 分 1×20 分 1×30 分 根据表格可以分析出：教材教法知识主要出现在试卷的单项选择题、简答题、论述题、案例分析题、教学设计题目当中，单项选择题为每题 5 分，简答题为每题 7 分，论述题每题 15 分或 20 分，案例分析题 每题 20 分，教学设计题每题 30 分。根据三次考试分析案例分析题和教学设计题目均为高中数学课标和教材中的内容。

（2） 重点知识备考

数学教学原则：

数学教学原则，应根据数学教学目的和数学学科特点，以及学生学习数学心理特点来确定。目前，在中学数学教学中，主要应遵循如下基本原则：

1. 抽象与具体相结合原则

这一原则是数学教学中抽象思维与生动具体对象统一规律的反映。也就是说，在数学教学中既要促使学生通过各种感官去具体感知数学的具体模型，形成鲜明的表象，又要引导学生在感知材料的基础上进行抽象思维，形成正确的概念、判断和推理。

2. 严谨性与量力性相结合原则

数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性。量力性是指学生的可接受性。

3. 理论与实际相结合原则

理论与实际相结合，既是认识论与方法论的基本原理，又是教学论中的一般原理。这一原则是数学特点所决定的。

4. 巩固与发展相结合原则

数学学习过程是巩固与获取有关知识技能的不断向前发展的过程，巩固与发展不能截然分开，应在发展的过程中进行巩固，在巩固的基础上向前发展。古人提出“温故而知新”就是这个道理。因此在教学中应很好地调节这两方面的进程，以便获得更好的教学效果。

（3） 经典真题解析

【2016 下半年，15】函数单调性是刻画函数变化规律的重要概念，也是函数的重要性。

（1） 请叙述函数严格单调递增的的定义，并结合函数单调性定义，说明中学数学课程中函数单调性与

那些内容有关（至少列举两项内容）。

（2） 请列举至少两种研究函数单调性的方法，并分别简要说明其特点。

【答案】解析：（1）严格递增是定义域中任意 x1, x2 ，若 x1 ? x2 ，有 f (x1 ) ? f (x2 ) ，则称函数 f (x)

在定义域上严格单调递增。函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．

（2）定义法：设 x1, x2 ，若 x1 ? x2 ，有 f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0（ f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0 ），则称函数 f (x) 在

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