巧求三角形中线段的比值
例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。 解：过点D作DG//AC，交BF于点G 所以DG：FC＝BD：BC
因为BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4 即DG：FC＝1：4，FC＝4DG
因为DG：AF＝DE：AE 又因为AE：ED＝2：3 所以DG：AF＝3：2
即
所以AF：FC＝：4DG＝1：6
例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD 解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC
因为AF＝FC 所以AF：AC＝1：2
即EF：GC＝1：2，
因为CG：DE＝BC：BD 又因为BC＝CD
所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC
因为FD＝ED－EF＝
所以EF：FD＝
小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！
例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。 解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。 所以DF：BG＝CD：CB
因为BD：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4
即DF：BG＝3：4，
因为AF：BG＝AE：EB 又因为AE：EB＝2：3
所以AF：BG＝2：3 即
所以AF：DF＝
例4. 如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。 解：过点D作DG//CE，交AB于点G 所以EF：DG＝AF：AD
因为AF＝FD 所以AF：AD＝1：2
即EF：DG＝1：2
因为DG：CE＝BD：BC，又因为BD：CD＝1：3， 所以BD：BC＝1：4 即DG：CE＝1：4，CE＝4DG
因为FC＝CE－EF＝
所以EF：FC＝＝1：7
练习：
1. 如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。 2. 如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。
答案：1、1：10； 2. 9：1
4
图初中几何辅助线
一 初中几何常见辅助线口诀
人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形
半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
二 由角平分线想到的辅助线
口诀：
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
E（一）、截取构全等
几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地
OFDAC图1-1B去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
BFCAED图1-2分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。
例2． 已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。
ECA
DB图1-3例3． 已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD
分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？
练习 1．
已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=
CBDEA图1-42∠C，求证：AB+BD=AC
2．
已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，
求证：AE=2CE
初中几何辅助线大全
