结论多BD+CD,故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明:延长AD至E,使DE=AD,连接BE,则AE=2AD ∵AD为△ABC的中线 (已知) ∴BD=CD (中线定义) 在△ACD和△EBD中
?BD?CD(已证) ???ADC??EDB(对顶角相等)
?AD?ED(辅助线的作法)?图5?1 ∴△ACD≌△EBD (SAS)
∴BE=CA(全等三角形对应边相等)
∵在△ABE中有:AB+BE>AE(三角形两边之和大于第三边) ∴AB+AC>2AD。
(常延长中线加倍,构造全等三角形)
EAFBDC图5?2练习:已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图5-2, 求证EF=2AD。
六、截长补短法作辅助线。
例如:已知如图6-1:在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任一点。求证:AB-AC>PB-PC。 A分析:要证:AB-AC>PB-PC,想到利用三角形三边关系定理证之,因为欲证的是线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN, 再连接PN,则PC=PN,又在△PNB中,PB-PN<BN,即:AB-AC>PB-PC。
证明:(截长法)
在AB上截取AN=AC连接PN , 在△APN和△APC中
?AN?AC(辅助线的作法∵???1??2(已知)?AP?AP(公共边)?)21PNCDB图6?1M
∴△APN≌△APC (SAS)
∴PC=PN (全等三角形对应边相等)
∵在△BPN中,有 PB-PN<BN (三角形两边之差小于第三边) ∴BP-PC<AB-AC
证明:(补短法) 延长AC至M,使AM=AB,连接PM, 在△ABP和△AMP中
?AB?AM(辅助线的作法 ∵ ??1??2(已知)??AP?AP(公共边)?)
∴△ABP≌△AMP (SAS)
∴PB=PM (全等三角形对应边相等)
又∵在△PCM中有:CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC。
七、延长已知边构造三角形:
例如:如图7-1:已知AC=BD,AD⊥AC于A ,BC⊥BD于B, 求证:AD=BC 分析:欲证 AD=BC,先证分别含有AD,BC的三角形全等,有几种方案:△ADC与△BCD,△AOD与△BOC,△ABD与△BAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。
证明:分别延长DA,CB,它们的延长交于E点, ∵AD⊥AC BC⊥BD (已知)
∴∠CAE=∠DBE =90° (垂直的定义) 在△DBE与△CAE中
??E??E(公共角) ∵???DBE??CAE(已证)
?BD?AC(已知)?EAOBD图7?1C ∴△DBE≌△CAE (AAS)
∴ED=EC EB=EA (全等三角形对应边相等) ∴ED-EA=EC-EB 即:AD=BC。
(当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件。)
八 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如:如图8-1:AB∥CD,AD∥BC 求证:AB=CD。 分析:图为四边形,我们只学了三角形的有关知识,必须把它转化为三角形来解决。 证明:连接AC(或BD)
∵AB∥CD AD∥BC (已知)
∴∠1=∠2,∠3=∠4 (两直线平行,内错角相等) 在△ABC与△CDA中
??1??2(已证) ∵ ??AC?CA(公共边)
??3??4(已证)?A13D4B2C图8?1 ∴△ABC≌△CDA (ASA)
∴AB=CD(全等三角形对应边相等)
九、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。
例如:如图9-1:在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD的延长于E 。求证:BD=2CE 分析:要证BD=2CE,想到要构造线段2CE,同时CE与
F∠ABC的平分线垂直,想到要将其延长。 证明:分别延长BA,CE交于点F。 ∵BE⊥CF (已知)
∴∠BEF=∠BEC=90° (垂直的定义)
在△BEF与△BEC中,
??1??2(已知) ∵ ? ?BE?BE(公共边)??BEF??BEC(已证)?ADE12BC图9?1∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE=FE=
12CF (全等三角形对应边相等)
∵∠BAC=90° BE⊥CF (已知)
∴∠BAC=∠CAF=90° ∠1+∠BDA=90°∠1+∠BFC=90°
∴∠BDA=∠BFC
在△ABD与△ACF中
??BAC??CAF(已证)? ??BDA??BFC(已证)
?AB=AC(已知)? ∴△ABD≌△ACF (AAS)∴BD=CF (全等三角形对应边相等) ∴BD=2CE
十、连接已知点,构造全等三角形。
例如:已知:如图10-1;AC、BD相交于O点,且AB=DC,AC=BD,求证:∠A=∠D。 分析:要证∠A=∠D,可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等,而只有AB=DC和对顶角两个条件,差一个条件,,难以证其全等,只有另寻其它的三角形全等,由AB=DC,AC=BD,若连接BC,则△ABC和△DCB全等,所以,证得∠A=∠D。
证明:连接BC,在△ABC和△DCB中
?AB?DC(已知) ∵ ? ?AC?DB(已知)??BC?CB(公共边)AODBC图10?1 ∴△ABC≌△DCB (SSS)
∴∠A=∠D (全等三角形对应边相等)
十一、取线段中点构造全等三有形。
例如:如图11-1:AB=DC,∠A=∠D 求证:∠ABC=∠DCB。 分析:由AB=DC,∠A=∠D,想到如取AD的中点N,连接NB,NC,再由SAS公理有△ABN≌△DCN,故BN=CN,∠ABN=∠DCN。下面只需证∠NBC=∠NCB,再取BC的中点M,连接MN,则由SSS公理有△NBM≌△NCM,所以∠NBC=∠NCB。问题得证。
证明:取AD,BC的中点N、M,连接NB,NM,NC。则AN=DN,BM=CM,在△ABN和△DCN
?AN?DN(辅助线的作法中 ∵ ???A??D(已知)?AB?DC(已知)?)AND
∴△ABN≌△DCN (SAS)
∴∠ABN=∠DCN NB=NC (全等三角形对应边、角相等)
在△NBM与△NCM中
BMC图11?1?NB=NC(已证) ∵??BM=CM(辅助线的作法??NM=NM(公共边))
∴△NMB≌△NCM,(SSS) ∴∠NBC=∠NCB (全等三角形对应角相等)∴∠NBC+∠ABN =∠NCB+∠DCN 即∠ABC=∠DCB。
初中几何辅助线大全
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