结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD ∵AD为△ABC的中线 （已知） ∴BD＝CD （中线定义） 在△ACD和△EBD中
?BD?CD(已证) ???ADC??EDB(对顶角相等)
?AD?ED(辅助线的作法)?图5?1 ∴△ACD≌△EBD （SAS）
∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）
∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边） ∴AB＋AC＞2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
EAFBDC图5?2练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF＝2AD。
六、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。 A分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN， 再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。
证明：（截长法）
在AB上截取AN＝AC连接PN , 在△APN和△APC中
?AN?AC(辅助线的作法∵???1??2(已知)?AP?AP(公共边)?)21PNCDB图6?1M
∴△APN≌△APC （SAS）
∴PC＝PN （全等三角形对应边相等）
∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边） ∴BP－PC＜AB－AC
证明：（补短法） 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM， 在△ABP和△AMP中
?AB?AM(辅助线的作法 ∵ ??1??2(已知)??AP?AP(公共边)?)
∴△ABP≌△AMP （SAS）
∴PB＝PM （全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB－AC＞PB－PC。
七、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC 分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）
∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE与△CAE中
??E??E(公共角) ∵???DBE??CAE(已证)
?BD?AC(已知)?EAOBD图7?1C ∴△DBE≌△CAE （AAS）
∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）
八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。 证明：连接AC（或BD）
∵AB∥CD AD∥BC （已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） 在△ABC与△CDA中
??1??2(已证) ∵ ??AC?CA(公共边)
??3??4(已证)?A13D4B2C图8?1 ∴△ABC≌△CDA （ASA）
∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）
九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE 分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与
F∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于点F。 ∵BE⊥CF （已知）
∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）
在△BEF与△BEC中，
??1??2(已知) ∵ ? ?BE?BE(公共边)??BEF??BEC(已证)?ADE12BC图9?1∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=
12CF （全等三角形对应边相等）
∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）
∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
∴∠BDA＝∠BFC
在△ABD与△ACF中
??BAC??CAF(已证)? ??BDA??BFC(已证)
?AB＝AC(已知)? ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE
十、连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。 分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。
证明：连接BC，在△ABC和△DCB中
?AB?DC(已知) ∵ ? ?AC?DB(已知)??BC?CB(公共边)AODBC图10?1 ∴△ABC≌△DCB (SSS)
∴∠A＝∠D (全等三角形对应边相等)
十一、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。 分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。
证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN
?AN?DN(辅助线的作法中 ∵ ???A??D(已知)?AB?DC(已知)?)AND
∴△ABN≌△DCN （SAS）
∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等）
在△NBM与△NCM中
BMC图11?1?NB＝NC(已证) ∵??BM＝CM(辅助线的作法??NM＝NM(公共边))
∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。
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