第六章 不 等 式
第1课时 一元二次不等式及其解法
一、 填空题
2
1. 函数f(x)＝3－2x－x的定义域为__________． 答案：[－3，1]
2
解析：由3－2x－x≥0，解得－3≤x≤1.
x＋5
2. 不等式≥0的解集是 ____________．
x－1
答案：(－∞，－5]∪(1，＋∞)
x＋5
解析：由≥0，得(x＋5)(x－1)≥0且x－1≠0，解得x≤－5或x>1.
x－1
2
3. 不等式2x－x<4的解集为________． 答案：{x|－1＜x＜2}
2
解析：由题意得x－x<2?－1 2 4. 不等式x＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞) 22 解析：不等式x＋ax＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a－16＞0，∴ a＜－4或a＞4. 5. 若不等式mx＋2mx－4<2x＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是__________． 答案：(－2，2] 2 解析：原不等式等价于(m－2)x＋2(m－2)x－4<0，①当m＝2时，对任意x不等式都成 2 立；②当m－2<0时，Δ＝4(m－2)＋16(m－2)<0，∴ －2 2 6. 已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________． 答案：(－5，0)∪(5，＋∞) 2 解析：由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－4x，因此f(x)＝2????x－4x，x≥0，?x≥0，?x<0，?不等式f(x)>x等价于?2或?解得x>5或－5 2 7. 已知函数f(x)＝x＋mx－1.若对于任意x∈[m，m＋1]都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________． 2?? 答案：?－，0? ?2? 解析：二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则 22 ?f（m）＝m＋m－1＜0，?? 2?f（m＋1）＝（m＋1）＋m（m＋1）－1＜0，? 2 解得－＜m＜0. 2 x??，x≥0， 8. 已知f(x)＝?2则不等式f(x) 2 2 ??－x2＋3x，x<0， 答案：{x|x<4} 4x 解析：f(4)＝＝2，不等式即为f(x)<2，当x≥0时，由<2，得0≤x<4；当x<0时， 22 2 由－x＋3x<2，得x<1或x>2，因此x<0.综上，f(x) 9. 在R上定义运算：x?y＝x(1－y)，若?x∈R使得(x－a)?(x＋a)＞1成立，则实数a的取值范围是________． 1??3??答案：?－∞，－?∪?，＋∞? 2??2?? 22 解析：∵ ?x使得(x－a)?(x＋a)＞1?(x－a)(1－x－a)＞1，即?x使得x－x－a＋a 3122 ＋1＜0成立，∴ Δ＝1－4(－a＋a＋1)＞0?4a－4a－3＞0，解得a＞或a＜－. 22 2??x＋x（x≥0），2 10. 已知f(x)＝?2则不等式f(x－x＋1)<12的解集是________． ?－x＋x（x<0），? 答案：{x|－1＜x＜2} 22 解析：由函数图象知f(x)为R上的增函数且f (3)＝12，从而x－x＋1＜3，即x－x－2＜0，∴ －1＜x＜2. 二、 解答题 2 11. 已知f(x)＝－3x＋a(6－a)x＋6. (1) 解关于a的不等式f(1)＞0； (2) 若不等式f(x)＞b的解集为{x|－1＜x＜3}，求实数a，b的值． 22 解：(1) 由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a＋6a＋3＞0，即a－6a－3＜0，解得3－23＜a＜3＋23， ∴ 不等式的解集为{a|3－23＜a＜3＋23}． (2) ∵ f(x)＞b的解集为{x|－1＜x＜3}， 2 ∴ 方程－3x＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3， a（6－a） （－1）＋3＝，3?a＝3±3， ∴ 解得? 6－b?b＝－3， （－1）×3＝， －3 ????? 即a的值为3＋3或3－3，b的值为－3. 2 12. 已知a∈R，解关于x的不等式ax－2(a＋1)x＋4>0. 解：原不等式等价于(ax－2)(x－2)>0，以下分情况进行讨论： (1) 当a＝0时，x<2. 22?2?(2) 当a<0时，?x－?(x－2)<0，由<0<2知 21－a?2?(3) 当a>0时，?x－?(x－2)>0，考虑－2＝2·的正负： aa?a? 22 ① 当0 aa2 ② 当a＝1时，＝2，故x≠2； a22 ③ 当a>1时，<2，故x<或x>2. aa ?2???；当a＝0时，该不等式的解集为x|＜x＜2综上所述，当a<0时，该不等式的解集为?a? {x|x＜2}；当0 ???2?2 等式的解集为?x|x＜2或x＞?；当a≥1时，该不等式的解集为?x|x＜或x＞2?. a?a??? 2 13. 已知不等式mx－2x＋m－2＜0. (1) 若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围； (2) 设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围． 22 解：(1) 对所有实数x，都有不等式mx－2x＋m－2<0恒成立，即函数f(x)＝mx－2x＋m－2的图象全部在x轴下方，当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；当m≠0 ??m<0， 时，由二次函数的图象可知有?解得m<1－2，综上可知m的取值范 ?Δ＝4－4m（m－2）<0，? 围是(－∞，1－2)． 22 (2) 设g(m)＝(x＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x＋1>0知g(m) 2 在[－2，2]上为增函数，则由题意只需g(2)<0即可，即2x＋2－2x－2<0，解得0 以x的取值范围是(0，1)．第2课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 一、 填空题 1. 若点(m，1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是____________． 答案：(1，＋∞) 解析：由2m＋3－5>0，得m>1. ?y≤－x＋2， ? 2. 不等式组?y≤x－1，所表示的平面区域的面积为 _______________. ??y≥0 1 答案： 4 ??y＝－x＋2， 解析：作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由?得yD ?y＝x－1，? 1111 ＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝. 2224 2x＋y≤4， ??x＋3y≤7， 3. 若实数x，y满足?则z＝3x＋2y的最大值为________． x≥0，??y≥0，答案：7 解析：由约束条件作出可行域，可知当过点(1，2)时z＝3x＋2y的最大值为7. x＋y≤1，?? 4. 已知不等式组?x－y≥－1，所表示的平面区域为D.若直线y＝kx－3与平面区域D ??y≥0有公共点，则k的取值范围是________． 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)
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