第五章
法。
定积分
理解广义积分的概念和计算方
内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，
重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。
§1.定积分的概念
一、实例分析
1．曲边梯形的面积
设函数y
f(x)∈C[a, b], 且y
.
?
f(x)>0. 由曲线yf(x),xa,xb,y0围
成的图形称为曲边梯形(1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸其面积
底高.
如何定义曲边梯形的面积
,
y=f (x)
(3) 预备一张呈曲边梯形状的纸将其撕成许多细长条(4) 启示:
将曲边梯形分割为许多细长条分割得越细, 误差越小.
,
.
,
x=ax=b
y=f (x)
a=x0x1
第i个细长条面积
xi-1 xi
f(i)xif(i)xi
(
i
xn=b
[xi1,xi],
xi
xi
xi1)
Si
n
曲边梯形面积:
S
i1
定积分概念示意图
n
.ppt
定义:
S
lim
0
f(i)xi
i1
(
max{xi,i
1,2,,n)
1
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抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分二、定积分的定义1. 定义
设y
.
f(x)在[a, b]有定义, 且有界.
(1) 分割: 用分点
a
x0x1xn1,2,xi1,
b把[a, b]分割成n个小区间: ,n
max{xi,i
i,
[xi1,xi],i记xi
(2) 取点: 在每个小区间
n
xi
1,2,,n}
[xi1,xi]上任取一点
做乘积:
f(i)xi.
(3) 求和:
i1
f(
i
)xi
n
(4) 取极限: lim
0
f(
i1
i
)xi
ba
若极限存在, 则其为f(x)在[a, b]上的定积分, 记作:
ba
n
f(x)dx. 即:
)xi
f(x)dxlim
0
f(
i1n
i
[a, b]: 积分区间；a：积分下限；b：积分上限；
i1
f(
i
)xi积分和式.
问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中
n
, 谁是常量, 谁是变量?
b
i有关
注: (1)
i1b
f(i)xi与区间的分割法
xi和取点法
; 而
a
f(x)dx与xi和i无关.
(2)
a
f(x)dx与a、b、f有关，与x无关，即：
ba
b
b
b
f(x)dx
a
f(t)dt
a
f(u)du
a
f()d
2．定积分存在定理定理推论
若f(x)在[a, b]上有界且只有有限个间断点，则若f(x)在[a, b]上连续，则
1
f(x)在[a, b]上可积.
f(x)在[a, b]上可积.
例1. 求
0
xdx
x在[0, 1]连续, 积分存在.
10
n
解: f(x)
xdxlim
0
ii1
xi与[0, 1]的分割法和
i
的
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2
取法无关. 选取特殊的分割法和取点法(1) 将[0, 1]n等分, xi(2) 取点
i=
, 可使计算简便.
inf(
i
,)xiin
2
xi
in
2
1n
2
i
xi,
nn
(3) 求和
i1
f(
i
)xi
i1
1n(nn
2
1)
(4) 取极限limf(
0
i
)xi
lim
n
n(n1)2n
2
12
故
10
xdx
12
baba
3. 定积分的几何意义
若f(x)在[a, b]上非负, 则若f(x)在[a, b]上非正, 则
f(x)dx=曲边梯形面积; f(x)dx=曲边梯形面积的负值
;
S+
S-ba
S+
f(x)dx的几何意义是由曲线yf(x),xa,xb,y0围成曲边梯形面积的代
数和.
例2.
10
1xdx
2
2
;
22
sinxdx
0;
ba
dxba.
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高等数学(上)第五章定积分总结复习课程
