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3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系
【基础知识在线】
知识点一 空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量 利用方向向量与法向量表示空间角
利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系
知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系
知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★
考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系
【解密重点·难点·疑点】
问题一：空间的方向向量与平面的法向量
1. 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向，这个向量a叫做直线的方向向量. 2. 直线l??，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面?的法向量.
(1)平面?的一个法向量垂直于与平面?共面的所有向量. (2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法
（1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可.
(2)已知平面内两不共线向量a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3?时，常用待定系数法: 设法向量u??x,y,z?,由???a?n?0?a1x?a2y?a3z?0得?在此方程组中，对x,y,z中
??b?n?0,?b1x?b2y?b3z?0,的任一个赋值，求出另两个，所得u即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量.
4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 :
设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面?,?的法向量分别为u,v，则
z
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线线平行：l//m?a//b?a?kb,k?R; 即：两直线平行或重合?两直线的方向向量共线． 线线垂直：l?m?a?b?a?b?0; 即：两直线垂直?两直线的方向向量垂直． 线面平行：l//??a?u?a?u?0; 即：直线与平面平行
直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外．
线面垂直：l???a//u?a?ku,k?R;
即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线两条不共线直线的方向向量都垂直．
面面平行：?//??u//v?u?kv,k?R; 即：两平面平行?两平面的法向量共线． 面面垂直：????u?v?u?v?0.
即：两平面垂直两平面的法向量垂直．
问题二：空间中线线、线面、面面平行的向量坐标表示
1. 设直线l,m的方向向量分别为a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3?，则 线线平行：l//m?a//b?a?kb?a1?ka2,b1?kb2,c1?kc2?k?R?.
2. 设直线l的方向向量分别为a??a1,a2,a3?,平面?的法向量分别为u??b1,b2,b3?， 线面平行：l//??a?u?a?u?0?a1a2?b1b2?c1c2?0. 3.平面?,?的法向量分别为u??a1,a2,a3?,v??b1,b2,b3?，
面面平行：?//??u//v?u?kv?a1?ka2,b1?kb2,c1?kc2,?k?R?.
问题三：空间中线线、线面、面面垂直的向量表示
1.设直线l,m的方向向量分别为a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3?，则 线线垂直：l?m?a?b?a?b?0?a1a2?b1b2?c1c2?0.
2.设直线l的方向向量分别为a??a1,a2,a3?,平面?的法向量分别为u??b1,b2,b3?， 线面垂直：l???a//u?a?ku?a1?ka2,b1?kb2,c1?kc2,?k?R?. 3.平面?,?的法向量分别为u??a1,a2,a3?,v??b1,b2,b3?，
z
直线的方向向量与平面内
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面面垂直：????u?v?u?v?0?a1a2?b1b2?c1c2?0.
【点拨思维·方法技巧】 一．求平面的法向量
例1已知平面?经过三点A?1,2,3?,B?2,0,?1?,C?3,?2,0?，试求平面?的一个法向量． 【思维分析】先求出AB,AC,，设出平面?的法向量为u??x,y,z?，结合向量垂直时数量积为零的性质，联立方程组解题. [解析]?A?1,2,3?,B?2,0,?1?,C?3,?2,0?，
?AB??1,?2,?4?,AC??2,?4,3?,，
设平面?的法向量为u??x,y,z?，
??u?AB?0依题意，?，
??u?AC?0即??x?2y?x?2y?4z?0，解得?.
?z?0?2x?4y?3z?0令y?1,则x?2.
∴平面?的一个法向量为u??2,1,0?．
【评析】
用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，设出平面的法向量,列出方程组，求出的三个坐标不是具体的值，而是比例关系，取其中一组解(非零向量)即可．
变式训练１．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量. 证明
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立体几何中的向量方法：平行与垂直
