第六章 数理统计的基本知识
(xi??)110?2?2?1i?11．f(x1,K,x10)?(；f(x)=)ee12??2??102．t分布；9.
113．, , 2.
20100X?04．解： Qi?N(0,1)
0.32110?(x??)212*?210,???x???。
??(i?110Xi2)??2(10) 0.3101.44??10X2?P?Xi2?1.44?P??(i)2??P?(10)?16??0.1 ??2i?10.3??i?10.3??５．解：X:N(12,) 可参考书中P67页
45 （1）PX?12?1?2?(??5)?1?0.7372； 2 （2）P?max(X1,X2,L,X5)?15?=P?X1?15,X2?15,L,X5?15??P?X?15? （3）P?min(X1,X2,L,X5)?10?=1???5?0.93325
??1?P?Xi?15i?10??
55?1??1?P?Xi?10???1??1??(?1)??1?0.84135
第七章 参数估计
1． 样本均值X?74.002
18(Xi?X)2?6.857?10?6 样本方差S??8?1i?12°2?1(X?X)2?6?10?6 样本二阶中心矩S?i8i?12μμ均值与方差的矩估计值分别为：??74.002???????6?10?6
82．（1）矩估计
E(X)????cx?cx??(??1)dx???c?x??dx?c???c ??11n?xini?1令
?c$?$?X，?的估计值为??X，得?的估计量为?1??1X?cn?x?cii?1n
（2）极大似然估计
L(?)??c?x1?(??1)L?c?xn?(??1)?(?c?)n(x1Lxn)?(??1)
lnL(?)?nln(?c)?(??1)?lnxi
?i?1nn?lnLn??nlnc??lnxi?0 令???i?1$?得?的估计值为?n?lnx?nlncii?1n$?，?的估计量为?n?lnXi?1n
i?nlnc3．（1） 矩估计
X?1?2?14? 33E(X)?1??2?2?2?(1??)?3?(1??)2?3?2?
$?令E(X)?X 得?的估计值为?极大似然估计
5 6L(?)?P(X1?x1)P(X2?x2)P(X3?x3)??2?2?(1??)??2?2?5?2?6
令
?lnL51$?5 ???0，得?的估计值为????1??61n??X??Xi
ni?1（2）矩估计量
极大似然估计
L(?)?P(X1?x1)P(X1?x2)...P(Xn?xn)??xe??1x1!...?xe??nxn!?e??n??xix1!...xn!
令
?lnL(?)?xi?0，得?的似然估计值为?$???n?????xni，
1n从而?的似然估计量为??X??Xi。
ni?14．解： 当α?1时, X的概率密度为
?β?,x?1， f(x,β)??xβ?1
??0，x?1，(Ⅰ) 由于
EX??????xf(x;β)dx??x?1??βxβ?1dx?β, β?1)Xβ?X， 解得 参数β的矩估计量为??令 。 β?1X?1 (Ⅱ) 对于总体X的样本值x1,x2,?,xn，似然函数为
?βn,xi?1(i?1,2,?,n),? L(β)??f(xi;α)??(xx?x)β?1
12ni?1?0,其他.?n当xi?1(i?1,2,?,n)时，L(β)?0，取对数得 lnL(β)?nlnβ?(β?1)?lnxi?1ni，
对β求导数，得
nd[lnL(β)]n???lnxi，
dββi?1d[lnL(β)]nn?????lnxi?0， 解得 β的最大似然估计量为β令
dββi?1n?lnxi?1n。
i( Ⅲ) 当β?2时, X的概率密度为
?2α2?f(x,β)??x3,x?α，
??0，x?α，对于总体X的样本值x1,x2,?,xn，似然函数为
?2nα2n,xi?α(i?1,2,?,n),? L(β)??f(xi;α)??(xx?x)3
12ni?1?0,其他.?n当xi?α(i?1,2,?,n)时，α越大，L(α)越大, 即α的最大似然估计值为
??min{x1,x2,?,xn}， α于是α的最大似然估计量为
??min{X1,X2,?,Xn}。 α5．（1）E(T1)??,E(T2)?2?,E(T3)?? T1，T3是无偏估计量 （2）D(T1)?
121541(???2)?(?2??2)??2?????D(T3)??2??2 36918164所以D(T3)?D(T1)，因此T3较有效。
6．（1）?已知时，置信区间为?X???2?nu?,X?2??u?? n2?X?6，u??1.96，n?9
置信区间为（5.608，6.392） （2）?未知时，置信区间为?X???SS?t?(n?1),X?t?(n?1)? n2n2?1nS?(Xi?X)=0.57，t0.025(8)?2.306 ?n?1i?1得置信区间为（5.5584，6.4416）。
7．解：由于?,?均未知，则?的置信区间为?X?2??SS?t?(n?1),X?t?(n?1)?， n2n2??2的置信区间为
??22(x?x)(x?x)??i??i,??2(n?1)?2(n?1)?????1??22?，亦即
??S2S2?(n?1)2?。 ,(n?1)2???(n?1)?1??(n?1)??22?t0.05(5)?2.015，X?6.6782，S?0.00387所以?的置信区间为（1）（6.6750，6.6814）
?(Xi?1ni?X)?7.4833?10-5，?20.05(5)?11.07,?20.95(5)?1.15
所以?2的置信区间为（6.7606?10-6，6.5078?10-5）
（2）t0.05(4)?2.132，X?6.664，S?0.003所以?的置信区间为（6.6611，6.6671）
?(Xi?1ni?X)?4.5?10-5，?20.05(4)?9.49,?20.95(4)?0.71
所以?2的置信区间为（3.7935?10-6，5.0704?10-5） 8．解：
（1）E(X)?E(e)?y?????eyfY(y)dy?eu?,Y?2(??1)2?b；
（2）置信区间?为(Y??n?nu?)，代人样本数据得(?0.97,0.99)；
2（3）由（1）式?与b的关系及（2）中?的置信区间得b的置信区间为(e
?0.47,e1.49)。
第六章 数理统计的基本知识课后习题参考答案
