第一章 质点力学
矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：a?c??1??t??sin2T?? 式中c及T为常数，试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。
解 ：由题可知，变加速度表示为
a?c??1?sin?t??2T? ?由加速度的微分形式我们可知a?dvdt
代入得 dv?c???t? ?1?sin2T??dt对等式两边同时积分
?vdv?c?t??0?1?sin?t?2T?
0?dt可得 ：v?ct?2T?ccos?t2T?D（D为
常数）
代入初始条件：t?0时，v?0， 故D??2T?c
即v?c??t?2T??t?? ????cos2T?1????又因为v?dsdt
所以 ds?c???t?? ?t?2T????cos2T?1????dt对等式两边同时积分，可得：
s?c??1?2t2?2T?2T?t??????sin2T?t??? ? 直线FM在一给定的椭圆平面内以匀角速
?绕其焦点F转动。求此直线与椭圆的焦
点M的速度。已知以焦点为坐标原点的椭
圆的极坐标方程为r?a?1?e2?1?ecos? 式中a为椭圆的半长轴，e为偏心率，常数。
解：以焦点F为坐标原点
yMOF??x
题1.8.1图则M点坐标 ??x?rcos?y?rsin? ?对x,y两式分别求导
???x??r?cos??r??sin? ??y??r?sin??r??cos?故
v2?x?2?y?2??r?cos??r??sin??2??r?sin??r??cos??2?r?2?r2?2
如图所示的椭圆的极坐标表示法为
r?a?1?e2? 1?ecos?对r求导可得（利用????） 又因为
1r??1?e?cos?a1?e2?a1?e2? 即 cos??a?1?e2??r
re所以
22a?1?e222?22为常数 vx?2vy?C,C?r?2ar1?e
2??sin??1?cos??1?r2e2故有 v2?e2?2r4a2?1?e2?2sin2??r2?2
2?e?2r4a2?1?e2?2[1?a2?1?e2?2?r2?2ar?1?e2?r2e2]?r2?2
r2?2??e2r2?r2?2ar?1?e2??a2?1?e2????1?e2????2r2b2?2a?r?r
即 v?r?br?2a?r?（其中
b2??1?e2?a2,b为椭圆的半短轴）
质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。
证：质点作平面运动，设速度表达式为 v?vxi?vyj令为位矢与轴正向的夹角，所以
a?dvdt?dvxdti?vdidvydjxdt?dtj?vydt???dvx???dvy???dt?vy???i????v?? ?dtx?j?a????dvx?dt?vy?????i???dv?y?v????dtx??j????vxi?vyj?
?vdvxdvyxdt?vxvy???vydt?vxvy???vdvxdvyx dt?vydt又因为速率保持为常数，即
对等式两边求导 2vdvxdt?2vdvyxydt?0 所以 a?v?0正交.
质点沿着半径为r的圆周运动，加速度矢
量与速度矢量间的夹角?保持不变。求质点的速度随时间而变化规律。出速度为v0。
解 由题可知速度和加速度有关系如
v图1.11.1所示
?a
题1.11.1图??v2?an??r?asin????at?dvdt?acos?两式相比得
v21dvrsin??cos??
dt即 1rcot?dt?dv
v2对等式两边分别积分
?t1vdv0rcot?dt?? v0v2即
1v?1v?tcot? 0r此即质点的速度随时间而变化的规律
将质量为m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即
R?mk2gv2。如上抛时的速度为v0，试证
此质点又落至投掷点时的速度为
v1?v01?k2v2
0
解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正
vRmgv
Rmg上升时 下降时
题1.19.1图
则两个过程的运动方程为：
上升 m?y???mg?mk2gy?2 ① 下降： ?m?y???mg?mk2gy?2 ② 对上升阶段: dvdt??g?1?k2v2?
dvdydt?vdvdy??g?1?k2v2dy? 即 vdv1?k2v2??gdy
对两边积分
?0vdv1?k2v2???hv0gdy 0所以 h?1222k2gln?1?kv0? ③ 即质点到达的高度.
对下降阶段：
dvdy?vdv?g?k2gv2dydtdy即
?v1vdv1?k2v2??0 0hgdy h??12k2gln?1?k2v21? ④ 由③=④可得 vv01?1?k2v2
0 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。
?a?
Fx?6abz3y?20bx3y2，
Fy?6abxz3?10bx4y，Fz?18abxyz2
?b?
F?iFx?x??jFy?y??kFz?z?
解 （a）保守力F满足条件??F?0对题中所给的力的表达式 ，代入上式
ijk??F?????x?y?zFxFyFz?????Fz?Fy???Fx?Fz???Fy?Fx???y??z??i???z??x?j????x?????????y????k?18abxz2?18abxz2i?18abz2y?18abz2yj?
?6abz3?40bx3y?6abz3?40abx3y?k?0所以此力是保守力，其势为
V???F?dr????x,y,z??0,0,0??Fxdx?Fydy?Fzdz????x,0,0?3?0,0,0??6abzy?20bx3y2?dx???x,y,0?3?x,0,0??6abxz?10??x,y,z??x,y,0?18abxyz2dz?5bx4y2?6abxyz3 (b)同（a），由
ijk??F?????x?y?zFxFyFz?????Fz?Fy???Fx?Fz???y??z???i???z??x???Fy???j???F??x??y?0所以此力F是保守力，则其势能为
理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案
