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我夯基我达标
1.设有一个回归方程y=2-1.5x,则变量x增加一个单位时( ) A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位
思路解析:(2-1.5x1)-(2-1.5x2)=-1.5(x1-x2),若变量x增加一个单位,即x1-x2=1,则y平均减少1.5个单位,所以应选C. ★答案☆:C
2.线性回归方程y=a+bx必定过( ) A.(0,0)
B.(x,0)
C.(0,y)
D.(x,y)
思路解析:由公式中的a=y-bx,得y=bx+a,又(xi,yi)(i=1,2,…,n)的中心点(x,y)恰好满足方程y=bx+a,故线性回归方程y=a+bx必过(x,y)点.
★答案☆:D
3.近10年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额数据如下(单位:亿元):
工资总额x 社会商品总额y
23.8 41.4
27.6 51.8
31.6 61.7
32.4 67.9
33.7 68.7
34.9 77.5
43.2 95.9
52.8 137.4
63.8 155.0
73.4 175.0
建立社会商品零售总额y与职工工资总额x的线性回归方程是( ) A.y=2.799 1x-27.248 5 B.y=2.799 2x-23.549 3 C.y=2.699 2x-23.749 3 D.y=2.899 2x-23.749 4
思路解析:利用计算器容易求得x,y,xi,yi,xi2,xiyi,代入公式求出a、b得方程为y=2.799 2x-23.549 3.
★答案☆:B
4.针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析如下:
月份
产量(千件)xi
单位成本(元/件)yi
xi2
xiyi
6x?21426,y??71, 666i?1?xi?12i?79,?xiyi?1481,
1 2 73 4 146
21?716b??1.8182， 21279?6?()621a=71-(-1.818 2)×≈77.37
61481?6?则产量每增加1 000件,单位成本下降_______元.
思路解析:由上表可得y=-1.818 2x+77.37,产量每增加1千件,则单位成本下降1.818 2元. ★答案☆:1.818 2
5.某地区某种病的发病人数呈上升趋势,统计近四年这种病的新发病人数的线性回归分析如下表所示:
年份(xi) 1996 1997 1998 该年新发病人数(yi)
2 400 2 491 2 586
x=1 997.5,y=2 540.25
?xyi4i?nxy?nx2b=
i?14=94.7
1999 2 684
?xi?12ia=
y-bx=-186 623
如果不加控制,仍按这个趋势发展下去,请预测从2000年初到2003年底的四年时间里,该地区这种病的新发病总人数约为_______.
思路解析:由上表可得:y=94.7x-186 623,当x分别取2 000,2 001,2 002,2 003时,得估计值分别为:2 777,2 871.7,2 966.4,3 061.1,则总人数约为2 777+2 871.7+2 966.4+3 061.1≈11 676. ★答案☆:11 676
6.在10年期间,一城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系有如下数据.
第n年 居民年收入x(亿元) 某商品销售额y(万元) 第n年 居民年收入x(亿元) 某商品销售额y(万元)
1 32.2 25.0 6 38.0 41
2 31.1 30.0 7 39.0 42
3 32.9 34 8 43 42
4 35.8 37 9 44.6 48
5 37.1 39.0 10 46.0 51.0
(1)画出散点图;
(2)如果它们具有线性关系,请用Excel软件求出回归直线方程.
思路分析:通过散点图检验两个变量是否具有线性相关关系后,再求回归方程.从散点图能看出它们有较好的线性关系. 解:(1)根据数据画出散点图.
(2)从散点图看出它们具有线性关系,可以用最小二乘估计方法或用Excel软件求出回归直线方程y=1.447x-15.843.
7.某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系,随机抽取10户进行调查,其结果如下:
月人均收入x(元) 月人均生活费y(元)
300 390 420 504 255 324 330 345
570 450
700 760 520 580
800 650
850 700
1 080 750
利用上述资料: (1)画出散点图;
(2)如果变量x与y之间具有线性相关关系,求出回归直线方程; (3)测算人均收入为280元时,人均生活费支出应为多少元?
思路分析:这是一个实际应用的回归分析问题,其实就是找出回归方程,通过回归直线方程来
分析月人均收入与月人均生活费的关系. 解:(1)散点图如图所示.
(2)回归直线方程为y=0.707 61x+39.371 03.
(3)测算人均收入为280元时,人均生活费支出应为237.5元.
我综合我发展
8.每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与28天后混凝土的抗压强度(单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据.
x y x y
150 56.9 210 74.1
160 58.3 220 77.4
170 61.6 230 80.2
180 64.6 240 82.6
190 68.1 250 86.4
200 71.3 260 89.7
(1)利用散点图判断它们的相关性;
(2)如果y与x之间具有线性相关关系,求回归直线方程.
思路分析:求回归直线方程和相关系数,通常是用计算器来完成的.在有的较专门的计算器中,可通过直接按键得出回归直线方程的系数和相关系数,而如果要用一般的科学计算器进行计算,先列出相应的表格,有了表格中的那些相关数据,回归方程中的系数和相关系数就都容易求出了.
解:(1)画出散点图.
(2)从散点图看出y与x具有线性关系,可以用计算机或计算器求出线性回归方程y=0.304x+10.283.
9.以下资料是一位销售经理收集来的每年销售额和销售经验年数的关系:
销售经验(年) 年销售额(千元)
1 80
3 97
4 92
4 102
6 103
8 111
10 119
10 123
11 117
13 136
(1)依据这些数据画出散点图并作直线y=78+4.2x,计算
?(yi?110i?i)2; ?y10(2)依据这些数据由最小二乘法求回归直线方程,并据此计算
?(yi?1i?i)2; ?y
数学北师大版必修3自主练习：1.8最小二乘估计
