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第一章 随机过程基本概念
P39
1. 设随机过程X?t??Xcos?0t，???t???，其中?0是正常数，而X是标准正态变量。试求X?t?的一维概率分布。 解：
1 当cos?0t?0，?0t?k???2，即t?1?1?k????（k?z）时， ?0?2?X?t??0，则P?X?t??0??1. 2 当cos?0t?0，?0t?k???2，即t?1?1?k???（k?z）时， ?0?2??X~N?0，1?，?E?X??0，D?X??1. E??X?t????E?Xcos?0t??E?X?cos?0t?0.
22D??X?t????D?Xcos?0t??D?X?cos?0t?cos?0t.
?X?t?~N?0，cos2?0t?.
1e则f?x；t??2?cos?0t?x22cos2?0t.
2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为
?cos?t，出现正面X?t???
?2t，出现反面假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为
1?1?。试确定X?t?的一维分布函数F?x；?2?2???1?。 和F?x；1?，以及二维分布函数F?x1，x2；，
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??12精品
解： ?1?X?? 0 ?2?pk
1 11 22?0，x?0??1????1?1??F?x；??P?X???x???，0?x?1
?2???2???2??1，x?1X?1? ?1 2 pk
随机矢量?X?1 21 2?0，x??1?1??F?x；1??P?X?1??x???，?1?x?2
?2??1，x?2????1?，X1?1?，?1，2?. ????的可能取值为?0，2???而P?X???1??1??1??1，?0，X1??1?PX?1，X1?2??????. ???????2??2??2??21???1????F?x1，x2；，1??P?X???x1，X?1??x2?
2????2???0，x1?0或x2??1??1??，0?x1?1且x2??1或x1?0且?1?x2?2 ?2??1，x1?1且x2?2
3. 设随机过程X?t?，???t???总共有三条样本曲线
??X?t，?1??1，X?t，?2??sint，X?t，?3??cost
且P??1??P??2??P??3??
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1。试求数学期望EX?t?和相关函数RX?t1，t2?。 3精品
解：
1111EX?t??1??sint??cost???1?sint?cost?.
3333RX?t1，t2??E??X?t1?X?t2???
111??1?1??sint1sint2??cost1cost2 3331??1?sint1sint2?cost1cost2? 31??1?cos?t1?t2???. 3?
4. 设随机过程X?t??e?Xt，（t?0），其中X是具有分布密度f?x?的随机变量。试求
X?t?的一维分布密度。
解：
X?t?的一维分布函数为：
1??F?x；t??P?X?t??x??P?e?Xt?x??P??Xt?lnx??P?X??lnx?
t??1???1??1?P?X??lnx??1?F??lnx?.
t???t?X具有分布密度f?x?， ?X?t?的一维分布密度为：
?????1??1?f?x；t???Fx；t????????t?x P40
5. 在题4中，假定随机变量X具有在区间?0，T?中的均匀分布。试求随机过程的数学期望EX?t?和自相关函数RX?t1，t2?。
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?1?1?1?f??lnx??f??lnx?. ?t?tx?t?精品
解：由题意得，随机变量X的密度函数为
?1?，0?x?T fX?x???T??0，其它由定义，
?Xt?tx?EX?t??E?e?e????0T11T1dx???e?txd??tx???e?txTTt0TtT0
??1?Tt1e?1???1?e?Tt?. （t?0） ?TtTt?X?t1?t2??Xt1?Xt2?? ??RX?t1，t2??E?XtXt?Ee?e?Ee?????12????????e?x?t1?t2??0TT?xt?t11?12?1dx??e?d??x?t1?t2?? ???0TT?t1?t2?T??1e?x?t1?t2?T?t1?t2?T0??1?e?T?t1?t2??1?
?T?t1?t2???
1?1?e?T?t1?t2??.
?T?t1?t2??9. 给定随机过程X?t?，???t???。对于任意一个数x，定义另一个随机过程
????1，X?t??xY?t???
??0，X?t??x试证：（两Y?t?的数学期望和相关函数分别为随机过程X?t?的一维分布和二维分布函数个自变量都取x）。
证明：设f1?x，t?和f2?x1，x2；t1，t2?分别为X?t?的一维和二维概率函数，则
mY?t??E??Y?t?????????y?t?f1?x，t?dx??????x??f1?x，t?dx?F1?x，t?.
RY?t1，t2??E??Y?t1?Y?t2???????x1?????????y1y2f2?x1，x2；，t1t2?dx1dx2
?x2f2?x1，x2；，t1t2?dx1dx2?F2?x1，x2；，t1t2?.
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若考虑到对任意的t?T，Y?t?是离散型随机变量，则有
mY?t??E?t?. ?Y?t????1?P?Y?t??1??0?P?Y?t??0??P?X?t??x??F1?x，RY?t1，t2??E??Y?t1?Y?t2???
?1?1?P?Y?t1??1，Y?t2??1??1?0?P?Y?t1??1，Y?t2??0? ?0?1?P?Y?t1??0，Y?t2??1??0?0?P?Y?t1??0，Y?t2??0? ?P?X?t1??x1，X?t2??x2??F2?x1，x2；t1，t2?.
因此，Y?t?的数学期望和相关函数分别为随机过程X?t?的一维分布和二维分布函数。 P41
14. 设随机过程X?t??X?Yt，???t???，而随机矢量?X，Y?的协方差阵为
???12??，试求X?t?的协方差函数。 ?2????2?解：依定义，利用数学期望的性质可得
CX?t1，t2?
?E???X?Yt1???mX?mYt1??????X?Yt2???mX?mYt2??? ?E???X?mX???Yt1?mYt1??????X?mX???Yt2?mYt2???
?????E???X?mX??X?mX????E???X?mX?t2?Y?mY??? ?E??t1?Y?mY??X?mX????E??t1t2?Y?mY??Y?mY???
?CXX?t2CXY?t1CYX?t1t2CYY
2. ??12??t1?t2???t1t2?2
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随机过程作业题及参考答案(第一章)
