2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（ ） A．1∈?U（M∪P） B．2∈?U（M∪P） C．3∈?U（M∪P） D．6??U（M∪P） 2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（ ） A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1
C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx
3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（ ） A．﹣9 B．﹣1 C．1
D．9
4．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（ ） A．f（x）=x
B．f（x）=sinx
+
C．f（x）=cosx
﹣
D．f（x）=log2（x2+1）
5．（4分）代数式sin（A．﹣1 B．0
C．1
）+cos（
）的值为（ ）
D．
6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量（ ） A．
B．
C．
D．
=，=，则向量，的夹角为
7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（那么函数f（x）图象的一条对称轴是（ ） A．x=﹣
B．x=
C．x=
D．x=
，0）成中心对称（|φ|＜），
8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．函数f（x）一定存在最大值 B．函数f（x）一定存在最小值 C．函数f（x）一定不存在最大值 D．函数f（x）一定不存在最小值
二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 9．（4分）函数y=
的定义域为 ．
10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为 ．
11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα= ． 12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1） （i）若∠ACB是直角，则x=
（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是 ．
13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2
．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度
为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到 单位． 14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x
（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为 ；
（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为 ．
三.解答题（本大题共4小题，共44分）
15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数） （Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围； （Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．
16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π） x ﹣ f（x） 0 2 0 ﹣2 0 （Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式； （Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，
]上的取值范围．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；
（Ⅱ）当?=﹣时，求α的值；
|=|
|恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若
（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得|不存在，请说明理由．
18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）
（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分 （i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数； （ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数； （Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数．
选做题（本题满分10分）
19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x?=x?|
（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；
（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；
（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ
1
+λ
2
．
2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（ ） A．1∈?U（M∪P） B．2∈?U（M∪P） C．3∈?U（M∪P） D．6??U（M∪P）
【解答】解：由已知得到M∪P={1，5，2，4}；所以?U（M∪P）={3，6}；故A、B、D错误； 故选：C．
2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（ ） A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1
C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx
【解答】解：对于A，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，在（﹣∞，0）上是单调减函数，不满足题意；
对于B，g（x）=3x+1在（﹣∞，0）上是单调增函数，满足题意； 对于C，h（x）=3﹣x=
是（﹣∞，0）上的单调减函数，不满足题意；
对于D，t（x）=tanx在区间（﹣∞，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意． 故选：B．
3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（ ） A．﹣9 B．﹣1 C．1
D．9
【解答】解：向量=（1，3），=（3，t），若∥， 可得t=9． 故选：D．
4．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（ ） A．f（x）=x
B．f（x）=sinx
C．f（x）=cosx
D．f（x）=log2（x2+1）
【解答】解：对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是奇函数． A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，
故选B．
5．（4分）代数式sin（A．﹣1 B．0
C．1
+
+
）+cos（
﹣）的值为（ ）
D．
【解答】解：sin（故选：C．
）+cos（﹣）=．
6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量（ ） A．
B．
C．
D．，
=，=，则向量，的夹角为
【解答】解：设向量的夹角为θ，
以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系， ∴A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1）， ∵向量
=
，
=
，
∴E（，1），F（1，）， ∴∴|
=（，1），|=
，
=
=（1，）， ，
?
=+=，
∴cosθ===，
∴θ=，
故选：B
7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（那么函数f（x）图象的一条对称轴是（ ） A．x=﹣
B．x=
C．x=
D．x=
，0）成中心对称（|φ|＜），
【解答】解：∵函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（∴2×
+φ=kπ，k∈，解得：φ=kπ﹣，
）， +．
，k∈， ，k∈，
，0）成中心对称，
∵|φ|＜∴φ=∴令2x+
，可得：f（x）=3sin（2x+=kπ+
，k∈，可得：x=
∴当k=0时，可得函数的对称轴为x=故选：B．
8．（4分）已知函数f（x）=
其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．函数f（x）一定存在最大值 B．函数f（x）一定存在最小值 C．函数f（x）一定不存在最大值 D．函数f（x）一定不存在最小值 【解答】解：由函数y=2x的值域为（0，+∞）， y=x2的值域为[0，+∞）， 且M∪P=R，
若M=（0，+∞），P=（﹣∞，0]， 则f（x）的最小值为0，故D错； 若M=（﹣∞，2），P=[2，+∞）， 则f（x）无最小值为，故B错； 由M∪P=R，可得图象无限上升， 则f（x）无最大值． 故选：C．
二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 9．（4分）函数y=
的定义域为 [2，+∞） ．
【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2． ∴函数y=
的定义域为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为 c＜b＜a ． 【解答】解：∵a=40.5＞40=1， 0＜b=0.54＜0.50=1， c=log0.54＜log0.51=0，
∴a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a． 故答案为：c＜b＜a．
11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα= ﹣【解答】解：∵角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣=﹣
，
．
，∴x=﹣
．
，∴tanα==
故答案为：﹣
12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1） （i）若∠ACB是直角，则x= （ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是 （﹣2，﹣）∪（2，+∞） ．
【解答】解：（i）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）， ∴
=（﹣2﹣x，﹣1），
=（2﹣x，﹣1），
∵∠ACB是直角， ∴解得x=
=（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣1）（﹣1）=x2﹣3=0，
．
（ii）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）， ∴
=（﹣2﹣x，﹣1），=（﹣4，0），
∵△ABC是锐角三角形，
=（2﹣x，﹣1），
=（x+2，1），
=（4，0），
=（x﹣2，1），
∴，解得﹣2＜x＜﹣或x＞2．
∴x的取值范围是（﹣2，﹣故答案为：
，（﹣2，﹣
）∪（2，+∞）． ）∪（2，+∞）．
13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2
．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度
为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到 320 单位． 【解答】解：由题意，令x=40，v=10 10=alog24；所以a=5； v=25 m/s，25=5 log故答案为：320．
14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x
（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为 （2，+∞） ； （2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为 [，1） ．
，得到x=320单位．
【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=∵f（x）＞1， ∴
，
，
解得x＞2，
故x的取值范围为（2，+∞），
（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，
①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：
两函数的图象恒有交点，
②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：
要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a， ∴a≥，故≤≤a＜1
③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：
两函数的图象恒有交点， 综上①②③知：≤a＜1 故答案为：（2，+∞），[，1）
三.解答题（本大题共4小题，共44分）
15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数） （Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围； （Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立． 【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴， ∴
=0，
解得：b=0；
（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x2+c， 则g（x）=f（x）﹣2=x2+c﹣2， 若函数g（x）有两个不同的零点， 则△=﹣4（c﹣2）＞0， 解得：c＜2；
（Ⅲ）证明：函数f（x）=x2+c的开口朝上， ∵|c2+1|2﹣|c|2=c4+c2+1=（c2+）2+＞0恒成立， 故|c2+1|＞|c|，
故不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．
16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的
坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π） x ﹣ f（x） 0 2 0 ﹣2 0 （Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式； （Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，
]上的取值范围．
=
+
，∴ω=2，结合五点法作图可得
【解答】解：（Ⅰ）由表格可得A=2，2?
+φ=
，∴φ=
，
），它的最小正周期为
≤2kπ+
∴f（x）=2sin（2x+（Ⅱ）令2kπ+
=π．
≤x≤kπ+]，k∈．
）∈[﹣
，1]，f（x）∈[﹣，
≤2x+，求得kπ+
，kπ+
可得函数f（x）的单调递减区间为[kπ+（Ⅲ）在区间[0，，2]，
即函数f（x）的值域为[﹣
，2]．
]上，2x+
∈[
，
]，sin（2x+
17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标； （Ⅱ）当
?
=﹣时，求α的值；
|=|
|恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若
（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得|不存在，请说明理由．
【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）； （Ⅱ）即（cos
）（cos
，）+sin2α=
，整理得到cos
，
?
=﹣时，
，所以锐角α=60°；
，
，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，
（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），则由|
|=|
|恒成立，得到
=
所以存在x=﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．
18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）
（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分 （i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数； （ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数； （Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数．
【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．
②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．
∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．
（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．
又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），
令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．
（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．
又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），
令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．
（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=ax是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），
∴Tax+T=ax，化为：TaTax=ax，∵ax＞0，∴TaT=1，即aT=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，
∴当a＞1时，函数f（x）=ax一定是Ω函数．
选做题（本题满分10分）
19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x?=x?|
（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；
（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；
（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ
1
+λ
2
．
【解答】解：（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y）， 由?=?，可得x+2y=3x+4y， 即为x+y=0，
则集合V（，）中的三个元素为（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3）； （2）由（1）可得这些向量共线．
理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d）， 由?=?，可得as+bt=cs+dt， 即有s=即=（
t， t，t），
故集合V（，）中元素的关系为共线；
（3）证明：设=（s，t），=（a，b），=（c，d）， =（u，v），=（e，f）， 若V（，）=V（，）， 即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv， 解得a=
?c+
?e+，
，
可令d=f，可得λ1=λ2=
，
则一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ
1
+λ
2
．
北京市海淀区高一上期末数学试卷有答案-名校版
